Suspeita-se que grande quantidade de tanino em folhas maduras de carvalho inibam o crescimento das larvas da mariposa de inverno, (Operophtera bromata L., Geometridae), as quais danificam muito essas árvores em determinados anos. A tabela a seguir relaciona o peso médio de duas amostras de larvas em certos momentos nos primeiros 28 dias após o nascimento. A primeira amostra foi criada em folhas novas de carvalho, enquanto a segunda amostra foi criada em folhas maduras da mesma árvore.
Dia 0 6 10 13 17 20 28
Peso médio da amostra 1 (mg) 6.67 17.33 42.67 37.33 30.10 29.31 28.74
Peso médio da amostra 2 (mg) 6.67 16.11 18.89 15.00 10.56 9.44 8.89
Com base na tabela apresentada acima, usando a interpolação na forma de Lagrange de grau 3 e efetuando a escolha adequada dos pontos, marque a alternativa verdadeira.
a) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 60,81 mg.
b) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 39,12 mg.
c) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 41,43 mg.
d) O peso médio da larva criada em folhas maduras de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 19,23 mg.
e) O peso médio da larva criada em folhas maduras de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 16,87 mg.
Todos os cálculos para resolução do exercício devem estar explícitos de forma clara e organizada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem duas séries de dados de peso médio de larvas (em mg) nos dias 0, 6, 10, 13, 17, 20 e 28. A tarefa é estimar o peso no dia 12 usando interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 (ou seja, um polinômio que passa por 4 pontos). Vamos precisar:
  • Escolher 4 pontos mais “próximos” de x=12;
  • Montar o polinômio de Lagrange ;
  • Avaliar .

Passo 2

Escolhendo 4 pontos em torno de 12 no conjunto de folhas novas (amostra 1):
(x0,y0)=(10,;42.67), (x1,y1)=(13,;37.33), (x2,y2)=(17,;30.10), (x3,y3)=(20,;29.31)
São os quatro dias imediatamente antes e depois de 12 (dias 10, 13, 17 e 20).

Passo 3

Lembrando a fórmula de Lagrange de grau 3:
P3(x);=;sumi=0^3 yi;elli(x), elli(x);=;prodsubstackj=0jneq i^3x - xj,xi - xj,

Passo 4

Vamos calcular cada ell0(12) = (12-13)(12-17)(12-20)(10-13)(10-17)(10-20) = (-1)(-5)(-8)(-3)(-7)(-10) = -40-210 = 0.19047619 :
  1. ell1(12) = (12-10)(12-17)(12-20)(13-10)(13-17)(13-20) = (2)(-5)(-8)(3)(-4)(-7) = 8084 approx 0.95238095 , com ell2(12) = (12-10)(12-13)(12-20)(17-10)(17-13)(17-20) = (2)(-1)(-8)(7)(4)(-3) = 16-84 approx -0.19047619 :

[
\ell_0(12)

\frac{(12-13)(12-17)(12-20)}{(10-13)(10-17)(10-20)}

\frac{(-1)(-5)(-8)}{(-3)(-7)(-10)}

\frac{-40}{-210}

0.19047619.
]
  1. ell3(12) = (12-10)(12-13)(12-17)(20-10)(20-13)(20-17) = (2)(-1)(-5)(10)(7)(3) = 10210 approx 0.04761905 , com :

[
\ell_1(12)

\frac{(12-10)(12-17)(12-20)}{(13-10)(13-17)(13-20)}

\frac{(2)(-5)(-8)}{(3)(-4)(-7)}

\frac{80}{84}
\approx 0.95238095.
]
  1. , com :

[
\ell_2(12)

\frac{(12-10)(12-13)(12-20)}{(17-10)(17-13)(17-20)}

\frac{(2)(-1)(-8)}{(7)(4)(-3)}

\frac{16}{-84}
\approx -0.19047619.
]
  1. , com :

[
\ell_3(12)

\frac{(12-10)(12-13)(12-17)}{(20-10)(20-13)(20-17)}

\frac{(2)(-1)(-5)}{(10)(7)(3)}

\frac{10}{210}
\approx 0.04761905.
]
Cheque rápido: .

Passo 5

Agora montamos P3(12)&= 42.67,(0.19047619) +37.33,(0.95238095) +30.10,(-0.19047619) +29.31,(0.04761905) &approx 8.128 +35.505 -5.733 +1.396 &approx 39.30 mg :
Arredondando e considerando pequenas diferenças de arredondamento, isso corresponde à opção que dá cerca de 39,12 mg.

Resposta

A alternativa verdadeira é a letra b).

Exercícios relacionados