Suspeita-se que grande quantidade de tanino em folhas maduras de carvalho inibam o crescimento das larvas da mariposa de inverno, (Operophtera bromata L., Geometridae), as quais danificam muito essas árvores em determinados anos. A tabela a seguir relaciona o peso médio de duas amostras de larvas em certos momentos nos primeiros 28 dias após o nascimento. A primeira amostra foi criada em folhas novas de carvalho, enquanto a segunda amostra foi criada em folhas maduras da mesma árvore.
Dia | 0 | 6 | 10 | 13 | 17 | 20 | 28 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Peso médio da amostra 1
|
6.67 | 17.33 | 42.67 | 37.33 | 30.10 | 29.31 | 28.74 |
Peso médio da amostra 2 (mg) | 6.67 | 16.11 | 18.89 | 15.00 | 10.56 | 9.44 | 8.89 |
Com base na tabela apresentada acima, usando a interpolação na forma de Lagrange de grau 3 e efetuando a escolha adequada dos pontos, marque a alternativa verdadeira.
a) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 60,81 mg.
b) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente .
c) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente .
d) O peso médio da larva criada em folhas maduras de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 19,23 mg.
e) O peso médio da larva criada em folhas maduras de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente .
Todos os cálculos para resolução do exercício devem estar explícitos de forma clara e organizada.
a) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 60,81 mg.
b) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente
c) O peso médio da larva criada em folhas novas de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente
d) O peso médio da larva criada em folhas maduras de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente 19,23 mg.
e) O peso médio da larva criada em folhas maduras de carvalho no décimo segundo dia é de aproximadamente
Todos os cálculos para resolução do exercício devem estar explícitos de forma clara e organizada.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem duas séries de dados de peso médio de larvas (em mg) nos dias 0, 6, 10, 13, 17, 20 e 28. A tarefa é estimar o peso no dia 12 usando interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 (ou seja, um polinômio que passa por 4 pontos). Vamos precisar:
- Escolher 4 pontos mais “próximos” de x=12;
- Montar o polinômio de Lagrange
; - Avaliar
.
Passo 2
Escolhendo 4 pontos em torno de 12 no conjunto de folhas novas (amostra 1):
São os quatro dias imediatamente antes e depois de 12 (dias 10, 13, 17 e 20).
Passo 3
Lembrando a fórmula de Lagrange de grau 3:
Passo 4
Vamos calcular cada
:
-
, com :
[
\ell_0(12)
\frac{(12-13)(12-17)(12-20)}{(10-13)(10-17)(10-20)}
\frac{(-1)(-5)(-8)}{(-3)(-7)(-10)}
\frac{-40}{-210}
0.19047619.
]
]
-
, com :
[
\ell_1(12)
\frac{(12-10)(12-17)(12-20)}{(13-10)(13-17)(13-20)}
\frac{(2)(-5)(-8)}{(3)(-4)(-7)}
\frac{80}{84}
\approx 0.95238095.
]
\approx 0.95238095.
]
-
, com :
[
\ell_2(12)
\frac{(12-10)(12-13)(12-20)}{(17-10)(17-13)(17-20)}
\frac{(2)(-1)(-8)}{(7)(4)(-3)}
\frac{16}{-84}
\approx -0.19047619.
]
\approx -0.19047619.
]
-
, com :
[
\ell_3(12)
\frac{(12-10)(12-13)(12-17)}{(20-10)(20-13)(20-17)}
\frac{(2)(-1)(-5)}{(10)(7)(3)}
\frac{10}{210}
\approx 0.04761905.
]
\approx 0.04761905.
]
Cheque rápido:
.
Passo 5
Agora montamos
:
Arredondando e considerando pequenas diferenças de arredondamento, isso corresponde à opção que dá cerca de 39,12 mg.
Resposta
A alternativa verdadeira é a letra b).