Aplique o método de Newton-Raphson para calcular a raiz da equação
4^x+2^x=1
Adote x0=-0,5 e |f(x)|<0,01. Utilize 4 casas decimais e arredondamento.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a raiz da equação
4^x + 2^x = 1
usando o método de Newton-Raphson. Isso faz parte de Métodos Numéricos, e o que precisamos é:
1) a função que zera em cima da equação;
2) sua derivada ;
3) um chute inicial ;
4) iterar até que .
Vamos usar 4 casas decimais e arredondar em cada iteração.

Passo 2

Primeiro, definimos
f(x) = 4^x + 2^x - 1
e calculamos a derivada usando regra da cadeia e exponencial:
f'(x) = ddx4^x + ddx2^x = 4^xln4 + 2^xln2
O método de Newton-Raphson atualiza o chute assim:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Isso funciona porque a gente aproxima a função por sua reta tangente em e vê onde essa reta cruza o eixo .

Passo 3

Iteração 1 (a partir de f(-0,5) = 4^-0,5 + 2^-0,5 - 1 = 0,5 + 1raiz2 - 1 approx 0,2071 ):
  1. Calcula f'(-0,5) = 4^-0,5ln4 + 2^-0,5ln2 = 0,5cdot1,3863 + 0,7071cdot0,6931 approx 1,1833 :
x1 = -0,5 - 0,20711,1833 approx -0,6750
  1. Calcula :
  1. Atualiza :

Passo 4

Iteração 2 (a partir de f(-0,6750) = 4^-0,6750 + 2^-0,6750 -1 approx 0,3921 + 0,6266 -1 = 0,0187 ):
  1. f'(-0,6750) = 0,3921cdot1,3863 + 0,6266cdot0,6931 approx 0,9774 :
x2 = -0,6750 - 0,01870,9774 approx -0,6941
  1. :
  1. Atualiza :
Agora , então paramos.

Resposta

A raiz aproximada, com erro em boxedx approx -0,6941 menor que 0,01, é

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