Resolva o sistema abaixo pelo método de decomposição LU. Explicitar as matrizes L e U e os sistemas triangulares.
x1-3 x2+2 x3 & =11 2 x1-8 x2+x3 & =15 4 x1-6 x2+5 x3 & =29

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem o sistema
x1-3x2+2x3=11, 2x1-8x2+x3=15, 4x1-6x2+5x3=29,
e quer resolver usando decomposição LU. Isso é parte de Álgebra Linear: a ideia é escrever a matriz dos coeficientes como , onde
  • é triangular inferior com 1’s na diagonal,
  • é triangular superior.
Depois a gente resolve dois sistemas triangulares fáceis:
  1. .
  2. .

Passo 2

Agora bora encontrar A = 1 & -3 & 2 2 & -8 & 1 4 & -6 & 5 e U11=1, U12=-3, U13=2 pelo método de Doolittle (que põe 1 na diagonal de L21=21=2, L31=41=4 ):
A matriz linha 2' = (2,-8,1) - 2cdot(1,-3,2) = (0,-2,-3), é
linha 3' = (4,-6,5) - 4cdot(1,-3,2) = (0,6,-3)
Começamos definindo a primeira linha de U22=-2,;U23=-3,;U32=6,;U33 ainda vamos ajustar igual à de L32 = U32U22 = 6-2 = -3 :
U33 = -3 - L32cdot(-3) = -3 - (-3)cdot(-3) = -3 - 9 = -12
Depois calculamos os multiplicadores
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 4 & -3 & 1 , U = 1 & -3 & 2 0 & -2 & -3 0 & 0 & -12
Subtraímos vezes a linha 1 de da linha 2, e vezes a linha 1 da linha 3, para achar os próximos pivôs de :
Então
Agora o multiplicador para zerar é
Por fim ajustamos
Logo,

Passo 3

Agora montamos os dois sistemas triangulares que mencionei:
  1. 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 4 & -3 & 1 y1y2y3 = 111529 , com 1 & -3 & 2 0 & -2 & -3 0 & 0 & -12 x1x2x3 = y1y2y3 :

[

.
]
2) :
[

.
]

Passo 4

Resolvendo y = 11-7-36 por substituição direta (de cima pra baixo):

  1. Então

Passo 5

Agora por substituição regressiva (de baixo pra cima):
3)
2)

Resposta

x1 = 2, x2 = -1, x3 = 3

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