Dado o sistema abaixo, verificar sua convergência para os métodos iterativos e resolvêlo por Gauss Seidel com . Interromper quando , ou atingir 4 iterações. Explicitar a funȩão de iteração.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema linear 3×3:
3x1+2x2+x3=3, -,x1+4x2+x3=-3, 3x1+x2+4x3=10
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel e critério de convergência (dominância diagonal e critério de Sassenfeld). Vamos precisar:
Verificar se o sistema converge usando dominância diagonal ou Sassenfeld.
Linha 3: → não (é igual).
Então não é estritamente dominante.
Aí a gente tenta Sassenfeld (β’s):
O maior β é 1 (não <1), logo o critério de Sassenfeld também não garante convergência.
Conclusão: a gente não tem garantia teórica, mas mesmo assim vai testar o Gauss–Seidel.
Passo 3
Função de iteração de Gauss–Seidel (resolvendo cada equação para x1^(k+1)&=3-2,x2^(k)-x3^(k)3, x2^(k+1)&=-3 +x1^(k+1)-x3^(k)4, x3^(k+1)&=10-3,x1^(k+1)-x2^(k+1)4 ):
Passo 4
Vamos iterar até x1^(1)&=3-2cdot1-13=0, x2^(1)&=-3+0-14=-1, x3^(1)&=10-3cdot0-(-1)4=tfrac114=2,75 ou 4 vezes:
A iteração de Gauss–Seidel converge numericamente (apesar de não haver garantia teórica pelas condições padrão) e, parando quando xapprox 1,08333 -1,04167 1,94792 , obtemos após 3 iterações: