Dado o sistema abaixo, verificar sua convergência para os métodos iterativos e resolvêlo por Gauss Seidel com x^0=[1,1,1]^t. Interromper quando varepsilon<0,5, ou atingir 4 iterações. Explicitar a funȩão de iteração.
3 x1+2 x2+x3 & =3 -x1+4 x2+x3 & =-3 3 x1+x2+4 x3 & =10

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema linear 3×3:
3x1+2x2+x3=3, -,x1+4x2+x3=-3, 3x1+x2+4x3=10
Conteúdo: método iterativo de Gauss–Seidel e critério de convergência (dominância diagonal e critério de Sassenfeld). Vamos precisar:
  1. Verificar se o sistema converge usando dominância diagonal ou Sassenfeld.
  2. Montar a função de iteração de Gauss–Seidel.
  3. Iterar com até ou 4 iterações.

Passo 2

Primeiro, dominância diagonal (cada beta1=|2|+|1||3|=1, beta2=|-1|beta1+|1||4|=1+14=0,5, beta3=|3|beta1+|1|beta2|4|=3+0.54=0,875 ?):
  • Linha 1: → não (é igual).
  • Linha 2: → ok.
  • Linha 3: → não (é igual).
    Então não é estritamente dominante.
Aí a gente tenta Sassenfeld (β’s):
O maior β é 1 (não <1), logo o critério de Sassenfeld também não garante convergência.
Conclusão: a gente não tem garantia teórica, mas mesmo assim vai testar o Gauss–Seidel.

Passo 3

Função de iteração de Gauss–Seidel (resolvendo cada equação para x1^(k+1)&=3-2,x2^(k)-x3^(k)3, x2^(k+1)&=-3 +x1^(k+1)-x3^(k)4, x3^(k+1)&=10-3,x1^(k+1)-x2^(k+1)4 ):

Passo 4

Vamos iterar até x1^(1)&=3-2cdot1-13=0, x2^(1)&=-3+0-14=-1, x3^(1)&=10-3cdot0-(-1)4=tfrac114=2,75 ou 4 vezes:
k=0 → x1^(2)&=3-2(-1)-2,753=0,75, x2^(2)&=-3+0,75-2,754=-1,25, x3^(2)&=10-3(0,75)-(-1,25)4=2,25
k=1:
x1^(3)&=3-2(-1,25)-2,253=1,08333, x2^(3)&=-3+1,08333-2,254=-1,04167, x3^(3)&=10-3(1,08333)-(-1,04167)4=1,94792
k=2:
k=3:

Como , a gente pára na terceira iteração.

Resposta

A iteração de Gauss–Seidel converge numericamente (apesar de não haver garantia teórica pelas condições padrão) e, parando quando xapprox 1,08333 -1,04167 1,94792 , obtemos após 3 iterações:

Exercícios relacionados