Responda os itens abaixo:
Seja P6(x)=x^6-4 x^5+8 x^4-11 x^3+10 x^2+10 x-7 encontre utilizando o teorema 7 , o raio do calculo onde P6(x) tem pelo menos uma raíz.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem é um polinômio
.
O objetivo (usando o “Teorema 7”, que é o famoso limite de Cauchy para raízes de polinômios) é achar um raio tal que todos os zeros de ficam dentro do círculo . Pra isso, vamos precisar dos coeficientes do polinômio e aplicar a fórmula do teorema.

Passo 2

O Teorema 7 (ou limite de Cauchy) diz o seguinte:
Se
P(x)=anx^n + an-1x^n-1 + cdots + a1x + a0
com |alpha|;<=; 1 + max0<= k, então todo zero R = 1 + max0<= k de satisfaz
Ou, como costuma ser 1 em muitos polinômios, basta
Isso garante que não existe raiz com .

Passo 3

No nosso caso a5=-4, a4=8, a3=-11, a2=10, a1=10, a0=-7 e o coeficiente líder é maxl|-4|,,|8|,,|-11|,,|10|,,|10|,,|-7|r =max4,8,11,10,10,7=11 . Os outros coeficientes são:
A gente calcula o máximo dos valores absolutos desses :

Passo 4

Agora aplica na fórmula do raio de Cauchy:
R = 1 + max0<= k<6|ak| = 1 + 11 = 12
Isso quer dizer que todas as raízes de estão no disco .

Resposta

O raio dado pelo Teorema 7 é .

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