1- Resolva o sistema abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel. Considere a solução inicial x0=(0,2 ; 1,5 ; 0,5) e epsilon=0,001.
c 3 x-y+z=10 0,5 x-4 y+2 z=-6 -x+3 y-5 z=4
a) Quais as funções de iterações?
b) Verifique se as iterações convergem utilizando o teste da matriz diagonalmente dominante.
c) Realize 5 iterações.
d) Quais os valores para x, y e z foram obtidos?
e) Considerando apenas as três iterações, o sistema converge?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
3x - y + z = 10, 0,5x - 4y + 2z = -6, - x + 3y - 5z = 4
pelo método de Gauss–Seidel, com chute inicial (x^(0),y^(0),z^(0))=(0,2,,1,5,,0,5) e tolerância epsilon=0,001. Vamos precisar (i) isolar cada variável, (ii) verificar convergência por dominância diagonal e (iii) iterar até 5 passos.

Passo 2

Isolando cada variável na sua equação respectiva, obtemos as funções de iteração de Gauss–Seidel:
x^(k+1) =10 + y^(k) - z^(k)3,
y^(k+1) =0,5,x^(k+1) + 2,z^(k) + 64,
z^(k+1) =-,x^(k+1) + 3,y^(k+1) - 45

Passo 3

O teste de convergência por dominância diagonal verifica cada linha da matriz
A = 3 & -1 & 1 0,5 & -4 & 2 -1 & 3 & -5
Para cada linha i, com diagonal aii e soma dos demais sumjneq i|aij|:
linha 1: |3| = 3 > |-1|+|1| = 2,
linha 2: |-4| = 4 > 0,5+2 = 2,5,
linha 3: |-5| = 5 > 1+3 = 4.
Como todas são estritamente dominantes, o método converge.

Passo 4

Aplicando as fórmulas do Passo 2 com o chute inicial, computamos cinco iterações:

Passo 5

Para verificar convergência em k=3 usamos a diferença máxima entre x^(3) e x^(2) (e análogos):
|x^(3)-x^(2)|approx|4,1310 - 4,1389| = 0,0079 > 0,001,
logo, após três iterações, o critério epsilon=0,001 ainda não foi atendido.

Resposta

(a) As funções de iteração são
(b) A matriz é estritamente diagonalmente dominante (cada ), logo há convergência.
(c) As cinco primeiras iterações são
(d) Após a 5ª iteração obtém-se
(e) Considerando apenas três iterações, , logo não atinge a tolerância e ainda não se considera convergido.

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