2- Resolva o sistema abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel. Considere a solução inicial e .
a) Quais as funções de iterações?
b) Verifique se as iterações convergem utilizando o teste da matriz diagonalmente dominante.
c) Realize 5 iterações.
d) Quais os valores para x, y e z foram obtidos?
e) Considerando apenas as cinco iterações, o sistema converge?
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
x+0,4,y+0,3,z=1, -0,25,x-y-0,5,z=0, 2,x+y+4,z=2
pelo método de Gauss–Seidel, com chute inicial (x^(0),y^(0),z^(0))=(0,0,0) e tolerância epsilon=0,001. Vamos:
Derivar as funções de iteração do Gauss–Seidel.
Verificar a convergência via dominância diagonal.
Fazer cinco iterações e checar se, nessas cinco, a solução já satisfaz epsilon.
Passo 2
A fórmula do Gauss–Seidel atualiza em cada etapa variáveis na ordem x,y,z. Isolando em cada equação:
Para convergência em epsilon=0,001 precisamos que l|x^(5)-x^(4)r|<0,001, l|y^(5)-y^(4)r|<0,001 e l|z^(5)-z^(4)r|<0,001.
Calculando: l|x^(5)-x^(4)r|approx0,0021>0,001, l|y^(5)-y^(4)r|approx0,0020>0,001, l|z^(5)-z^(4)r|approx0,00055<0,001.
Nem todas as diferenças estão abaixo de 0,001, então não convergiu em cinco iterações.