2- Resolva o sistema abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel. Considere a solução inicial x0=(0,0,0) e epsilon=0,001.
c x+0,4 y+0,3 z=1 -0,25 x-y-0,5 z=0 2 x+y+4 z=2
a) Quais as funções de iterações?
b) Verifique se as iterações convergem utilizando o teste da matriz diagonalmente dominante.
c) Realize 5 iterações.
d) Quais os valores para x, y e z foram obtidos?
e) Considerando apenas as cinco iterações, o sistema converge?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x+0,4,y+0,3,z=1, -0,25,x-y-0,5,z=0, 2,x+y+4,z=2
pelo método de Gauss–Seidel, com chute inicial (x^(0),y^(0),z^(0))=(0,0,0) e tolerância epsilon=0,001. Vamos:
  • Derivar as funções de iteração do Gauss–Seidel.
  • Verificar a convergência via dominância diagonal.
  • Fazer cinco iterações e checar se, nessas cinco, a solução já satisfaz epsilon.

Passo 2

A fórmula do Gauss–Seidel atualiza em cada etapa variáveis na ordem x,y,z. Isolando em cada equação:
x&=1-0,4,y-0,3,z, y&=-0,25,x-0,5,z, z&=tfrac2-2,x-y4=0,5-0,5,x-0,25,y
Logo as funções de iteração são, para a iteração kto k+1:
x^(k+1)&=1-0,4,y^(k)-0,3,z^(k), y^(k+1)&=-0,25,x^(k+1)-0,5,z^(k), z^(k+1)&=0,5-0,5,x^(k+1)-0,25,y^(k+1)

Passo 3

Para convergência pelo critério da matriz diagonalmente dominante, verificamos cada linha:
  • Linha 1: |1| = 1 e |0,4|+|0,3|=0,7, tem 1>0,7.
  • Linha 2: |-1|=1 e |-0,25|+|-0,5|=0,75, tem 1>0,75.
  • Linha 3: |4|=4 e |2|+|1|=3, tem 4>3.
    Logo a matriz é estritamente diagonalmente dominante e as iterações convergem.

Passo 4

Aplicando as fórmulas e o chute (0,0,0):
Iteração 1
x^(1)&=1-0,4cdot0-0,3cdot0=1, y^(1)&=-0,25cdot1-0,5cdot0=-0,25, z^(1)&=0,5-0,5cdot1-0,25cdot(-0,25)=0,0625
Iteração 2
x^(2)&=1-0,4(-0,25)-0,3(0,0625)=1,08125, y^(2)&=-0,25(1,08125)-0,5(0,0625)=-0,3015625, z^(2)&=0,5-0,5(1,08125)-0,25(-0,3015625)=0,034765625
Iteração 3
x^(3)&=1-0,4(-0,3015625)-0,3(0,034765625)=1,1101953125, y^(3)&=-0,25(1,1101953125)-0,5(0,034765625)=-0,294931640625, z^(3)&=0,5-0,5(1,1101953125)-0,25(-0,294931640625)=0,01863525390625
Iteração 4
x^(4)&=1-0,4(-0,294931640625)-0,3(0,01863525390625)=1,112382080078125, y^(4)&=-0,25(1,112382080078125)-0,5(0,01863525390625)=-0,28741314697265625, z^(4)&=0,5-0,5(1,112382080078125)-0,25(-0,28741314697265625)=0,01566224670410156
Iteração 5
x^(5)&=1-0,4(-0,28741314697265625)-0,3(0,01566224670410156)approx1,1102665848, y^(5)&=-0,25(1,1102665848)-0,5(0,0156622467)approx-0,2853977695, z^(5)&=0,5-0,5(1,1102665848)-0,25(-0,2853977695)approx0,01621615

Passo 5

Após cinco iterações obtivemos
x^(5)approx1,11027, y^(5)approx-0,28540, z^(5)approx0,01622

Passo 6

Para convergência em epsilon=0,001 precisamos que
l|x^(5)-x^(4)r|<0,001,
l|y^(5)-y^(4)r|<0,001 e
l|z^(5)-z^(4)r|<0,001.
Calculando:
l|x^(5)-x^(4)r|approx0,0021>0,001,
l|y^(5)-y^(4)r|approx0,0020>0,001,
l|z^(5)-z^(4)r|approx0,00055<0,001.
Nem todas as diferenças estão abaixo de 0,001, então não convergiu em cinco iterações.

Resposta

a)
x^(k+1)=1-0,4,y^(k)-0,3,z^(k), y^(k+1)=-0,25,x^(k+1)-0,5,z^(k), z^(k+1)=0,5-0,5,x^(k+1)-0,25,y^(k+1)
b) A matriz é estritamente diagonalmente dominante ( 1>0,7, 1>0,75, 4>3), logo o método converge.
c) Cinco iterações:
(x^(1),y^(1),z^(1))&=(1,,-0,25,,0,0625), (x^(2),y^(2),z^(2))&approx(1,08125,,-0,30156,,0,03477), (x^(3),y^(3),z^(3))&approx(1,11020,,-0,29493,,0,01864), (x^(4),y^(4),z^(4))&approx(1,11238,,-0,28741,,0,01566), (x^(5),y^(5),z^(5))&approx(1,11027,,-0,28540,,0,01622)
d) Após cinco iterações:
xapprox1,11027, yapprox-0,28540, zapprox0,01622
e) Não, pois as diferenças |x^(5)-x^(4)| e |y^(5)-y^(4)| ainda são maiores que 0,001.

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