Q2 - Resolva o sistema abaixo utilizando o método de Gauss-Seidel com erro varepsilon=0,05 e verifique a convergência pelo critério das linhas
Sistema:
& x 1+x 2+2 x 3=9 & 2 x 1+4 x 2-3 x 3=1 & 3 x 1+6 x 2-5 x 3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x1+x2+2x3&=9, 2x1+4x2-3x3&=1, 3x1+6x2-5x3&=0
pelo método de Gauss–Seidel com tolerância varepsilon=0,05 e verificar se existe convergência pelo critério das linhas. Para isso precisamos (a) examinar a matriz de coeficientes
A= 1&1&2 2&4&-3 3&6&-5
e (b) escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel.

Passo 2

O critério de convergência pelo critério das linhas exige que em cada linha i da matriz A tenhamos
|aii|>sumjneq i|aij|
Vamos verificar cada linha:
Linha 1:
|a11| = |1| = 1, sumjneq1|a1j| = |1|+|2| = 3,
e 1not>3.
Linha 2:
|a22| = |4| = 4, sumjneq2|a2j| = |2|+|-3| = 5,
e 4not>5.
Linha 3:
|a33| = |-5| = 5, sumjneq3|a3j| = |3|+|6| = 9,
e 5not>9.
Como nenhuma linha satisfaz |aii|>sumjneq i|aij|, o critério das linhas não é atendido.

Passo 3

A falha no critério das linhas significa que não há garantia de convergência do método de Gauss–Seidel para esse sistema. Mesmo que se tente a iteração
x1^(k+1)&=9 - x2^(k) - 2x3^(k), x2^(k+1)&=1 - 2,x1^(k+1) + 3,x3^(k)4, x3^(k+1)&=3,x1^(k+1) + 6,x2^(k+1)5,
não existe garantia de que maxi|xi^(k+1)-xi^(k)| ficar abaixo de 0,05.

Resposta

O sistema não satisfaz o critério de convergência pelo critério das linhas, portanto o método de Gauss–Seidel não é garantido de convergir.

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