Q6- Encontre a Soma e o intervalo de Convergência da série.
S(x)=1-3 x^{2}+5 x^{4}-\cdots+(-1)^{n-1}(2 \pi-1 x)^{2 n-2}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a soma da série
S(x)=1-3 x^{2}+5 x^{4}-\cdots+(-1)^{n-1}(2n-1) x^{2n-2}+\cdots
(observei que a sequência de coeficientes é 1,3,5,\dots e que o termo geral pode ser escrito como (-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2});
  • Determinar o intervalo de convergência (valores de x para os quais a série converge).
Informações dadas que vamos usar:
  • Cada termo tem potência par de x: x^{2n-2}.
  • Os sinais alternam com (-1)^{n-1}.
  • Os coeficientes são os ímpares (2n-1).
A partir daqui começo a manipular a série para somá-la e estudar sua convergência.

Passo 2

Para simplificar a notação, faço a mudança de índice k=n-1. Assim k começa em 0 e o termo geral fica mais claro. Substituindo:
S(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2k+1)x^{2k}.
Agora faço a substituição auxiliar t=x^{2}. Com isso a série fica em termos de t:
S(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2k+1)t^{k},\quad\text{onde }t=x^{2}.

Passo 3

Vamos lembrar uma soma clássica (só pra garantir a intuição): a série geométrica alternada
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{k}
converge para
\frac{1}{1+t}
sempre que |t|<1. Explicando por que: é a soma da geométrica com razão -t, e formula padrão dá 1/(1-(-t))=1/(1+t). Também fica claro que o raio de convergência dessa série em t é 1 (porque a razão em módulo deve ser <1).
Vou usar essa série geométrica e suas derivadas para obter a soma da série com fator (2k+1).

Passo 4

Defino
A(t)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{k}=\frac{1}{1+t},\qquad |t|<1.
Derivando termo a termo (o que é permitido para |t|<1, dentro do raio de convergência), obtenho
A'(t)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}k t^{k-1}.
Multiplicando por t tenho a série que soma k(-1)^{k}t^{k}:
tA'(t)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}k t^{k}.
Note que o k=0 do somatório original não contribui (pois tem fator k), então posso escrever sem problema
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}k t^{k}=tA'(t).
Agora calculo explicitamente A'(t). Como A(t)=\dfrac{1}{1+t},
A'(t)=-\frac{1}{(1+t)^{2}}.
Portanto
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}k t^{k}=t\cdot\left(-\frac{1}{(1+t)^{2}}\right)=-\frac{t}{(1+t)^{2}}.

Passo 5

A nossa série em t era
S(t)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2k+1)t^{k}.
Escrevo 2k+1=2k+1 e separei as somas:
S(t)=2\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}k t^{k}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{k}.
Já calculamos as duas séries:
2\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}k t^{k}=2\left(-\frac{t}{(1+t)^{2}}\right)=-\frac{2t}{(1+t)^{2}},
e
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{k}=\frac{1}{1+t}.
Somando:
S(t)=-\frac{2t}{(1+t)^{2}}+\frac{1}{1+t}.
Coloco em denominador comum (1+t)^{2}:
S(t)=\frac{-2t+(1+t)}{(1+t)^{2}}=\frac{1-t}{(1+t)^{2}}.
Finalmente volto a x com t=x^{2}:
S(x)=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}},\qquad\text{(válido quando a manipulação é permitida)}.áçãé

Passo 6

Agora vou determinar o intervalo de convergência em x. Trabalhamos com a série em t,
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2k+1)t^{k}.
Faço o teste da razão para essa série em t. Seja o termo geral a_{k}=(-1)^{k}(2k+1)t^{k}. Então
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=\frac{2(k+1)+1}{2k+1}\,|t|=\frac{2k+3}{2k+1}\,|t|.
Tomando limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=1\cdot|t|=|t|.
Pelo teste da razão, a série converge se |t|<1 e diverge se |t|>1. Assim o raio de convergência em t é 1.
Lembrando que t=x^{2}, a condição |t|<1 equivale a |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Portanto o conjunto de x onde a soma que obtivemos é válida é |x|<1.

Passo 7

Verifico os pontos extremos x=1 e x=-1 (ou seja t=1). Quando t=1 o termo geral da série em k é
(-1)^{k}(2k+1)\cdot 1^{k}=(-1)^{k}(2k+1).
Esses termos não tendem a 0 quando k\to\infty (o módulo cresce como 2k+1), logo a série não pode convergir em t=1. Portanto não há convergência em x=1 nem em x=-1.
Conclusão: a região de convergência em x é o intervalo aberto (-1,1).

Resposta

S(x)=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}
\text{Intervalo de convergência: }(-1,1)ê

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