Vamos lembrar uma soma clássica (só pra garantir a intuição): a série geométrica alternada
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{k}
converge para
\frac{1}{1+t}
sempre que |t|<1. Explicando por que: é a soma da geométrica com razão -t, e formula padrão dá 1/(1-(-t))=1/(1+t). Também fica claro que o raio de convergência dessa série em t é 1 (porque a razão em módulo deve ser <1).
Vou usar essa série geométrica e suas derivadas para obter a soma da série com fator (2k+1).
Pelo teste da razão, a série converge se |t|<1 e diverge se |t|>1. Assim o raio de convergência em t é 1.
Lembrando que t=x^{2}, a condição |t|<1 equivale a |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Portanto o conjunto de x onde a soma que obtivemos é válida é |x|<1.
Passo 7
Verifico os pontos extremos x=1 e x=-1 (ou seja t=1). Quando t=1 o termo geral da série em k é
(-1)^{k}(2k+1)\cdot 1^{k}=(-1)^{k}(2k+1).
Esses termos não tendem a 0 quando k\to\infty (o módulo cresce como 2k+1), logo a série não pode convergir em t=1. Portanto não há convergência em x=1 nem em x=-1.
Conclusão: a região de convergência em x é o intervalo aberto (-1,1).