Resolva o sistema de equações lineares simultâneas pelo Método da Eliminação Gaussiana.
Fonte:
https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/linear-systems/gaus sian-elimination
https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/linear-systems/gaus sian-elimination
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo Método da Eliminação Gaussiana. As equações dadas são (peguei-as do enunciado):
As incógnitas são
. O objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda e termos independentes à direita). A matriz aumentada é
Antes de operar: lembre que as operações elementares permitidas (que preservam o conjunto solução) são:
- trocar duas linhas,
- multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
- adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações permitem transformar a matriz aumentada em uma forma triangular (ou escalonada), de onde se encontra facilmente as incógnitas por substituição regressiva.]
Passo 3
Para simplificar, é conveniente ter um pivô
na primeira linha. Faço a troca das linhas
e
(trocar linhas é uma operação válida). Após
a matriz fica:
Passo 4
Elimino o coeficiente de
na segunda linha (
) usando
. Calculemos cada elemento da nova
:
- Coluna
: . - Coluna
: . - Coluna
: . - Termo independente:
.
A matriz vira
Passo 5
Agora uso a segunda linha como pivô para zerar o elemento
na terceira linha. Faço
. Calculemos:
- Coluna
: . - Coluna
: . - Termo independente:
.
Logo a terceira linha fica
e a matriz é
Para ficar mais limpo, multiplico a terceira linha por
(operação válida) para obter coeficiente
em
:
Passo 6
Agora a matriz está em forma triangular superior (escalonada). Posso ler diretamente a equação da terceira linha:
. Portanto
Explicando: substituir a linha reduzida corresponde à equação
.
Passo 7
Faço substituição regressiva para encontrar
e depois
.
A segunda linha representa
. Substituindo
:
Calcule:
Passo 8
Usando a primeira linha
e substituindo
e
:
Calcule:
Passo 9
Verificação (rápida): podemos checar em cada equação original que os valores satisfazem.
- Primeira:
(confere). - Segunda:
(confere). - Terceira:
(confere).
Tudo bate — solução correta.