Resolva o sistema de equações lineares simultâneas pelo Método da Eliminação Gaussiana.
\begin{array}{r} 2 x-2 y \quad=-6 \\\ x-3 y+z=1 \\\\ 3 y-2 z=5 \end{array}
Fonte:
https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/linear-systems/gaus sian-elimination

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo Método da Eliminação Gaussiana. As equações dadas são (peguei-as do enunciado):
\begin{array}{r} 2x-2y = -6\\[4pt] x-3y+z = 1\\[4pt] 3y-2z = 5 \end{array}
As incógnitas são (x,y,z). O objetivo é encontrar os valores de (x,y,z) que satisfazem as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda e termos independentes à direita). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 0 & -6\\[4pt] 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 5 \end{array}\right]
Antes de operar: lembre que as operações elementares permitidas (que preservam o conjunto solução) são:
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
  • adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações permitem transformar a matriz aumentada em uma forma triangular (ou escalonada), de onde se encontra facilmente as incógnitas por substituição regressiva.]

Passo 3

Para simplificar, é conveniente ter um pivô 1 na primeira linha. Faço a troca das linhas R_1 e R_2 (trocar linhas é uma operação válida). Após R_1\leftrightarrow R_2 a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 5 \end{array}\right]]

Passo 4

Elimino o coeficiente de x na segunda linha ( R_2) usando R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculemos cada elemento da nova R_2:
  • Coluna x: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Coluna y: -2 - 2\cdot(-3) = -2 + 6 = 4.
  • Coluna z: 0 - 2\cdot 1 = -2.
  • Termo independente: -6 - 2\cdot 1 = -8.
A matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -2 & -8\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 5 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora uso a segunda linha como pivô para zerar o elemento y na terceira linha. Faço R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{3}{4}R_2. Calculemos:
  • Coluna y: 3 - \dfrac{3}{4}\cdot 4 = 3 - 3 = 0.
  • Coluna z: -2 - \dfrac{3}{4}\cdot(-2) = -2 + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}.
  • Termo independente: 5 - \dfrac{3}{4}\cdot(-8) = 5 + 6 = 11.
Logo a terceira linha fica [0\;\;0\;\;-\tfrac{1}{2}\;|\;11] e a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -2 & -8\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 11 \end{array}\right]
Para ficar mais limpo, multiplico a terceira linha por -2 (operação válida) para obter coeficiente 1 em z:
R_3 \leftarrow -2R_3 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -2 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -22 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora a matriz está em forma triangular superior (escalonada). Posso ler diretamente a equação da terceira linha: \;1\cdot z = -22. Portanto
z = -22.
Explicando: substituir a linha reduzida corresponde à equação \;z = -22.

Passo 7

Faço substituição regressiva para encontrar y e depois x.
A segunda linha representa \;4y - 2z = -8. Substituindo z=-22:
4y - 2(-22) = -8.
Calcule:
4y + 44 = -8 \quad\Rightarrow\quad 4y = -52 \quad\Rightarrow\quad y = -13.

Passo 8

Usando a primeira linha \;x - 3y + z = 1 e substituindo y=-13 e z=-22:
x - 3(-13) + (-22) = 1.
Calcule:
x + 39 - 22 = 1 \quad\Rightarrow\quad x + 17 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = -16.

Passo 9

Verificação (rápida): podemos checar em cada equação original que os valores satisfazem.
  • Primeira: 2x-2y = 2(-16) - 2(-13) = -32 + 26 = -6 (confere).
  • Segunda: x-3y+z = -16 -3(-13) -22 = -16 +39 -22 = 1 (confere).
  • Terceira: 3y-2z = 3(-13) -2(-22) = -39 +44 = 5 (confere).
Tudo bate — solução correta.

Resposta

x=-16
y=-13
z=-22

Exercícios relacionados