Resolva o sistema linear

Passo 1

Beleza, a questão pede pra resolver um sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas (x, y, z, w). O conteúdo aqui é “Sistemas Lineares” e a técnica é a eliminação de Gauss (ou Gauss‐Jordan): a gente monta a matriz aumentada, faz operações elementares (somar linhas, multiplicar linha por escalar não‐zero etc.) para chegar numa forma em que fica fácil ler as variáveis.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema

Passo 3

Primeiro, a gente quer zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna. Nosso pivô inicial é o 1 que está em (linha 1, coluna 1).
  • R2 ← R2 − 2·R1
  • R3 ← R3 − 3·R1
  • R4 ← R4 − 4·R1
Fica:

Passo 4

Agora, vamos usar o elemento R21-5,R2 Longrightarrow 0 & 1 & -1 & tfrac35 &vline&tfrac75 de (linha 2, coluna 2) como próximo pivô. Primeiro simplifico essa linha dividindo por 1 & 0 & 1 & -tfrac15 &vline&tfrac65 0 & 1 & -1 & tfrac35 &vline&tfrac75 0 & 0 & -4 & 2 &vline&0 0 & 0 & -6 & tfrac185 &vline&tfrac75 :
Em seguida, zereo a coluna 2 em R1, R3 e R4 somando múltiplos de R2:
  • R1 ← R1 − 2·R2
  • R3 ← R3 + 5·R2
  • R4 ← R4 + 11·R2
Resultado:

Passo 5

Vem o pivô da terceira coluna: o R31-4,R3 Longrightarrow 0 & 0 & 1 & -tfrac12 &vline&0 em (linha 3, coluna 3). Divido R3 por 1 & 0 & 0 & tfrac310 &vline&tfrac65 0 & 1 & 0 & tfrac110 &vline&tfrac75 0 & 0 & 1 & -tfrac12 &vline&0 0 & 0 & 0 & tfrac35 &vline&tfrac75 :
Depois zereo a coluna 3 em R1, R2 e R4:
  • R1 ← R1 − 1·R3
  • R2 ← R2 + 1·R3
  • R4 ← R4 + 6·R3
Agora a matriz está quase diagonal:

Passo 6

Por fim, o pivô da quarta coluna é w = 7535 = 75 cdot 53 = 73 em (linha 4, coluna 4). Divido R4 por para achar :
Agora basta “back‐substitution” (subir na matriz):
  • Da linha 3:
  • Da linha 2:
  • Da linha 1:

Resposta

l(x,y,z,wr) = l(tfrac12,;tfrac76,;tfrac76,;tfrac73r)

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