Para a equação f(x)=\sqrt{x}-e^{-2 x} responda as questões a seguir, com 4 casas decimais:
a) Determine um intervalo em que a função tem uma única raiz
b) Encontre a raiz da função pelo método da bisseção, com \varepsilon_{1}=10^{-2}
c) Encontre a raiz da função pelo método da posição falsa, com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-2}
d) Encontre a raiz da função pelo método do ponto fixo, \operatorname{com} \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}
e) Encontre a raiz da função pelo método de Newton-Haphson, com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}
f) Encontre a raiz da função pelo método da secante, \operatorname{com} \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}
g) Escreva uma vantagem e uma desvantagem de cada método.

Passo 1

Você me deu a função \displaystyle f(x)=\sqrt{x}-e^{-2x} e quer, com quatro casas decimais, as respostas para os itens a) até g). Vou listar claramente o que é pedido e as informações importantes que temos no enunciado:
  • Perguntas:
    • (a) Determinar um intervalo em que a função tem uma única raiz.
    • (b) Encontrar a raiz pelo método da bisseção, com \varepsilon_{1}=10^{-2}.
    • (c) Encontrar a raiz pelo método da posição falsa, com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-2}.
    • (d) Encontrar a raiz pelo método do ponto fixo, com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}.
    • (e) Encontrar a raiz pelo método de Newton–Raphson, com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}.
    • (f) Encontrar a raiz pelo método da secante, com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}.
    • (g) Escrever uma vantagem e uma desvantagem de cada método.
  • Informações relevantes do enunciado:
    • A função está definida para x\ge 0 (por causa de \sqrt{x}).
    • Temos que trabalhar com tolerâncias especificadas para cada método (vou usar interpretação padrão: \varepsilon_{1} para diferença entre iterações / meio-intervalo quando relevante, e \varepsilon_{2} para o valor absoluto de f quando indicado).
    • Não foi dada figura; todos os cálculos devem ser numéricos e justificados analiticamente.
  • Observação: eu não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e os dados. Agora começo as resoluções passo a passo.

Passo 2

Existência e unicidade da raiz (preparação para os métodos; isso responde em parte o item (a) com justificativa):
  • Primeiro calculemos a derivada de \displaystyle f. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, por regra do poder: f(x)=x^{1/2}-e^{-2x},e a derivada é f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}+2e^{-2x}.Aqui \frac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (para x>0) e 2e^{-2x} vem da derivada de -e^{-2x}.
  • Observação sobre o sinal: ambos os termos em f'(x) são positivos para todo x>0. Logo f'(x)>0\quad\text{para todo }x>0.Isso significa que f é estritamente crescente em (0,\infty). Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz em (0,\infty).
  • Para garantir existência de raiz, calculemos sinais em pontos simples: f(0)=\sqrt{0}-e^{0}=-1<0,
f(1)=\sqrt{1}-e^{-2}=1-e^{-2}\approx 1-0,1353=0,8647>0.
Como f(0)<0 e f(1)>0 e f é contínua para x\ge0, por Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1). Pela monotonicidade (derivada positiva) essa raiz é única.
  • Conclusão (resposta do item a): um intervalo simples que contém uma única raiz é [0,1]. Se quisermos um intervalo mais estreito provado por sinais, por exemplo [0,0,5]: note que f(0.2)<0 e f(0.5)>0, portanto [0{,}2,0{,}5] também contém a raiz única. Vou usar [0,1] como intervalo garantido para os métodos que pedem um intervalo.

Passo 3

Método da bisseção (item b). Explicação didática e execução:
  • Ideia do método: temos um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos; escolhemos o ponto médio c=(a+b)/2; substituímos o extremo cujo sinal coincide com f\text{(c)} por c e repetimos. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
  • Critério de parada pedido: usar \varepsilon_{1}=10^{-2}. Interpreto \varepsilon_{1} como tolerância para o semi-intervalo, isto é, parar quando (b-a)/2<\varepsilon_{1}. (Isto garante que o erro da bisseção na raiz é menor que \varepsilon_1.)
  • Escolha inicial: [a,b]=[0,1] (vimos que contém a raiz única).
  • Número mínimo de iterações necessárias: queremos \dfrac{b-a}{2^{n}}<\varepsilon_{1}. Com b-a=1 e \varepsilon_{1}=0{,}01 temos 2^{n}>100 n\ge 7 (porque 2^7=128).
  • Faço as iterações (calculei os pontos médios e os sinais — aqui explico cada passo):
    1. iteração: c_1=0{,}5. f(0{,}5)=\sqrt{0{,}5}-e^{-1}\approx0{,}7071-0{,}3679=0{,}3392>0. Então novo intervalo [0,0{,}5].
    2. iteração: c_2=0{,}25. f(0{,}25)=0{,}5-e^{-0{,}5}\approx0{,}5-0{,}6065=-0{,}1065<0. Então novo intervalo [0{,}25,0{,}5].
    3. iteração: c_3=0{,}375. f(0{,}375)\approx0{,}6124-0{,}4724=0{,}1400>0. Novo intervalo [0{,}25,0{,}375].
    4. iteração: c_4=0{,}3125. f(0{,}3125)\approx0{,}5580-0{,}5353=0{,}0227>0. Novo intervalo [0{,}25,0{,}3125].
    5. iteração: c_5=0{,}28125. f(0{,}28125)\approx0{,}5303-0{,}5698=-0{,}0395<0. Novo intervalo [0{,}28125,0{,}3125].
    6. iteração: c_6=0{,}296875. f(0{,}296875)\approx0{,}5458-0{,}5524=-0{,}0066<0. Novo intervalo [0{,}296875,0{,}3125].
    7. iteração: c_7=0{,}3046875. f(0{,}3046875)\approx0{,}55196-0{,}54390=0{,}00806>0. Novo intervalo final [0{,}296875,0{,}3046875].
  • Paramos porque agora \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{0{,}3046875-0{,}296875}{2}=0{,}00390625<0{,}01.
  • Estimativa final da raiz pela bisseção: tomo o ponto médio do intervalo final, x_{\text{bis}}=\frac{0{,}296875+0{,}3046875}{2}=0{,}30078125.Arredondando para quatro casas decimais: \boxed{0{,}3008}.
  • Observação didática: bisseção garante erro menor que \varepsilon_1 e é robusto, mas converge linearmente (não é muito rápido).

Passo 4

Método da posição falsa / régula falsi (item c). Explicação e execução:
  • Ideia do método: com extremos a e b com sinais opostos, em vez do ponto médio usa-se a interseção da secante que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). A fórmula do ponto de aproximação é x_r = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.Depois substituímos o extremo cujo sinal coincide com f(x_r).
  • Critério de parada pedido: \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-2}. Interpreto \varepsilon_{1} como tolerância sobre o meio-intervalo (ou largura) e \varepsilon_{2} como tolerância para |f(x_r)|. Vou parar quando satisfizer pelo menos uma das duas condições: |f(x_r)|<\varepsilon_{2} ou (b-a)/2<\varepsilon_{1}.
  • Começo com [a,b]=[0,1], f(0)=-1, f(1)\approx0{,}8646647.
  • Iterações (cálculos aproximados com 6 dígitos intermediários para clareza):
    1. x_{r1}=1-0{,}8646647\cdot\frac{1}{0{,}8646647-(-1)}\approx0{,}536485. f(x_{r1})\approx0{,}3906>0. Novo intervalo [0,0{,}536485].
    2. x_{r2}\approx0{,}38568. f(x_{r2})\approx0{,}1583>0. Novo intervalo [0,0{,}38568].
    3. x_{r3}\approx0{,}33298. f(x_{r3})\approx0{,}0633>0. Novo intervalo [0,0{,}33298].
    4. x_{r4}\approx0{,}31316. f(x_{r4})\approx0{,}0248>0. Novo intervalo [0,0{,}31316].
    5. x_{r5}\approx0{,}30558. f(x_{r5})\approx0{,}0094.
  • Agora |f(x_{r5})|\approx0{,}0094<\varepsilon_{2}=0{,}01. Portanto paramos e aceitamos x_{r5} como aproximação.
  • Resultado da posição falsa (arredondado a 4 casas decimais): \boxed{0{,}3056}.
  • Observação: aqui parei pela condição em |f|; se tivéssemos exigido a largura do intervalo, poderia ser diferente. Posição falsa às vezes converte muito rápido no valor de f, mas pode ficar “travada” em um dos extremos se a função for muito inclinada.

Passo 5

Método do ponto fixo (item d). Escolha de g, justificativa e execução:
  • Reescrever a equação f(x)=0 como x=g(x). Da equação \sqrt{x}=e^{-2x} obtemos, elevando ao quadrado: x=e^{-4x}.Essa dá g_1(x)=e^{-4x}, mas seu derivado em torno da raiz tem magnitude maior que 1 (não é contração para o ponto de interesse), então ela tende a divergir.
  • Uma forma alternativa (obtida fazendo logaritmo) é: \frac{1}{2}\ln x=-2x \quad\Longrightarrow\quad \ln x=-4x \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{1}{4}\ln x.Assim escolho g(x)=-\frac{1}{4}\ln x.Essa escolha é boa porque seu derivado é g'(x)=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{4x},e para valores de x maiores que 1/4 temos |g'(x)|<1, condição típica de contração local. Como nossa raiz única fica perto de 0{,}3005 (maior que 0{,}25), g tende a ser contratante nessa vizinhança.
  • Critérios de parada pedidos: \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}. Vou parar quando tanto |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon_{1} quanto |f(x_{n+1})|<\varepsilon_{2}.
  • Iteração (escolho x_0=0{,}3 porque está perto da raiz):
    • x_1=g(x_0)=-\dfrac{1}{4}\ln(0{,}3). Calculando \ln(0{,}3)\approx-1{,}2039728, então x_1\approx -\frac{1}{4}(-1{,}2039728)=0{,}3009932.Diferença |x_1-x_0|=0{,}0009932<10^{-3}. Calcule f(x_1) aproximadamente: usando séries/expansões rápidas ou cálculo direto, obtém-se f(x_1)\approx 7{,}56\times10^{-4}<10^{-3}.
  • Ambos os critérios são satisfeitos já na primeira iteração (boa surpresa!). Então aceitamos x_1 como aproximação.
  • Resultado do ponto fixo (4 casas decimais): \boxed{0{,}3010}.
  • Observação didática: escolher a forma adequada de g é a parte chave do método do ponto fixo — uma má escolha pode divergir; uma boa escolha pode convergir rápido.

Passo 6

Método de Newton–Raphson (item e). Explicação e execução:
  • Fórmula do método: dado x_n, x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.Para nossa função já tínhamos f(x)=\sqrt{x}-e^{-2x},\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+2e^{-2x}.Importante entender: f'(x) é sempre positivo para x>0, então não teremos divisões por zero no vizinhança da raiz (exceto em x=0, mas não usamos isso).
  • Critérios de parada pedidos: \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}. Vou parar quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-3} e |f(x_{n+1})|<10^{-3}.
  • Escolha de x_0: tomo x_0=0{,}3 (próximo do zero).
  • Iteração:
    • Calculei f(0{,}3)\approx-0{,}0010891 e f'(0{,}3)\approx2{,}010494.
    • Atualização: x_1=0{,}3-\frac{-0{,}0010891}{2{,}010494}\approx0{,}3005416.Diferença |x_1-x_0|\approx0{,}0005416<10^{-3}. Além disso f(x_1) fica muito próximo de zero (da ordem 10^{-7}), ou seja |f(x_1)|<10^{-3}.
  • Portanto paramos após uma única iteração porque ambos os critérios foram satisfeitos.
  • Resultado do Newton–Raphson (4 casas decimais): \boxed{0{,}3005}.
  • Observação didática: Newton costuma convergir muito rápido quando a aproximação inicial é razoável (convergência quadrática local), por isso já temos alta precisão com poucas iterações.

Passo 7

Método da secante (item f). Explicação e execução:
  • Ideia: parecido com Newton, mas aproxima a derivada por uma secante com dois pontos anteriores. A fórmula para a nova aproximação com pontos x_{n-1} e x_n é x_{n+1}=x_n-f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.Não precisamos calcular explicitamente f'(x), mas precisamos de duas aproximações iniciais.
  • Critérios de parada: \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3} (paro quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-3} e |f(x_{n+1})|<10^{-3}).
  • Escolha inicial: usei x_0=0{,}2 e x_1=0{,}5 (valores que já provavam mudança de sinal).
  • Iterações (resumo dos cálculos):
    1. x_2\approx0{,}318938 com f(x_2)\approx0{,}0363.
    2. x_3\approx0{,}297260 com f(x_3)\approx-0{,}0064.
    3. x_4\approx0{,}300507 com f(x_4)\approx-4{,}6\times10^{-5}. Aqui |f(x_4)|<10^{-3} porém |x_4-x_3|\approx0{,}003247>10^{-3}, então não basta.
    4. x_5\approx0{,}3005305 com |x_5-x_4|\approx2{,}35\times10^{-5}<10^{-3} e |f(x_5)| muito pequeno.
  • Portanto paramos e tomamos x_5 como aproximação final.
  • Resultado da secante (4 casas decimais): \boxed{0{,}3005}.
  • Observação: secante costuma convergir mais rápido que métodos lineares, sem precisar da derivada, mas convergência não é garantida tão fortemente quanto Newton (por vezes pode oscilar).

Passo 8

Vantagem e desvantagem (item g). Vou escrever, para cada método pedido, uma vantagem e uma desvantagem curta e direta:
  • Bisseção
    • Vantagem: garantia de convergência (robusto) se f(a)f(b)<0 e erro reduzido linearmente a cada iteração.
    • Desvantagem: convergência lenta (linear), exige bastante iterações para alta precisão.
  • Posição falsa (régula falsi)
    • Vantagem: pode convergir mais rápido que a bisseção porque usa informação da inclinação aproximada (secante).
    • Desvantagem: às vezes “gruda” num extremo e converge muito lentamente em termos de reduzir o comprimento do intervalo (comportamento conhecido em certas funções).
  • Ponto fixo
    • Vantagem: simples e exige apenas avaliar uma função g(x), sem derivadas; boa se escolhermos g contratante.
    • Desvantagem: depende fortemente da escolha de g; uma escolha ruim pode divergir; convergência geralmente linear.
  • Newton–Raphson
    • Vantagem: convergência local muito rápida (quadrática) quando a aproximação inicial está suficientemente perto.
    • Desvantagem: requer cálculo de f'(x) e pode falhar (divergir) se a aproximação inicial estiver ruim ou se f'(x) for pequeno.
  • Secante
    • Vantagem: não precisa de f'(x) (apenas valores de f), e costuma ser mais rápida que métodos lineares (ordem de convergência ~1,618).
    • Desvantagem: precisa de duas aproximações iniciais e não tem a robustez de bisseção; pode divergir ou oscilar em casos difíceis.

Resposta

(a) Intervalo que contém a única raiz: [0,1].\n(b) Bisseção (com \varepsilon_{1}=10^{-2}): 0{,}3008.\n(c) Posição falsa (com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-2}): 0{,}3056.\n(d) Ponto fixo (com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}, usando g(x)=-\tfrac{1}{4}\ln x): 0{,}3010.\n(e) Newton–Raphson (com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}): 0{,}3005.\n(f) Secante (com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3}): 0{,}3005.\n(g) Vantagem/desvantagem de cada método:\nBisseção: vantagem — robusto; desvantagem — lento.\nPosição falsa: vantagem — pode ser mais rápido que bisseção; desvantagem — pode “grudar” num extremo e ser lento.\nPonto fixo: vantagem — simples, sem derivadas; desvantagem — depende da escolha de g e pode divergir.\nNewton–Raphson: vantagem — convergência muito rápida localmente; desvantagem — precisa de f' e pode divergir se a inicial for ruim.\nSecante: vantagem — não precisa de f' e geralmente rápido; desvantagem — menos robusto que bisseção e pode oscilar.

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