Para a equação
responda as questões a seguir, com 4 casas decimais:
a) Determine um intervalo em que a função tem uma única raiz
b) Encontre a raiz da função pelo método da bisseção, com
c) Encontre a raiz da função pelo método da posição falsa, com
d) Encontre a raiz da função pelo método do ponto fixo,
e) Encontre a raiz da função pelo método de Newton-Haphson, com
f) Encontre a raiz da função pelo método da secante,
g) Escreva uma vantagem e uma desvantagem de cada método.
a) Determine um intervalo em que a função tem uma única raiz
b) Encontre a raiz da função pelo método da bisseção, com
c) Encontre a raiz da função pelo método da posição falsa, com
d) Encontre a raiz da função pelo método do ponto fixo,
e) Encontre a raiz da função pelo método de Newton-Haphson, com
f) Encontre a raiz da função pelo método da secante,
g) Escreva uma vantagem e uma desvantagem de cada método.
Passo 1
Você me deu a função
e quer, com quatro casas decimais, as respostas para os itens a) até g). Vou listar claramente o que é pedido e as informações importantes que temos no enunciado:
-
Perguntas:
- (a) Determinar um intervalo em que a função tem uma única raiz.
- (b) Encontrar a raiz pelo método da bisseção, com
. - (c) Encontrar a raiz pelo método da posição falsa, com
. - (d) Encontrar a raiz pelo método do ponto fixo, com
. - (e) Encontrar a raiz pelo método de Newton–Raphson, com
. - (f) Encontrar a raiz pelo método da secante, com
. - (g) Escrever uma vantagem e uma desvantagem de cada método.
-
Informações relevantes do enunciado:
- A função está definida para
(por causa de ). - Temos que trabalhar com tolerâncias especificadas para cada método (vou usar interpretação padrão:
para diferença entre iterações / meio-intervalo quando relevante, e para o valor absoluto de quando indicado). - Não foi dada figura; todos os cálculos devem ser numéricos e justificados analiticamente.
- A função está definida para
-
Observação: eu não vou resolver nada ainda aqui — só organizei o que é pedido e os dados. Agora começo as resoluções passo a passo.
Passo 2
Existência e unicidade da raiz (preparação para os métodos; isso responde em parte o item (a) com justificativa):
- Primeiro calculemos a derivada de
. Como , por regra do poder: e a derivada é Aqui (para ) e vem da derivada de . - Observação sobre o sinal: ambos os termos em
são positivos para todo . Logo Isso significa que é estritamente crescente em . Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz em . - Para garantir existência de raiz, calculemos sinais em pontos simples:
Como
e
e
é contínua para
, por Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Pela monotonicidade (derivada positiva) essa raiz é única.
- Conclusão (resposta do item a): um intervalo simples que contém uma única raiz é
. Se quisermos um intervalo mais estreito provado por sinais, por exemplo : note que e , portanto também contém a raiz única. Vou usar como intervalo garantido para os métodos que pedem um intervalo.
Passo 3
Método da bisseção (item b). Explicação didática e execução:
- Ideia do método: temos um intervalo
com e de sinais opostos; escolhemos o ponto médio ; substituímos o extremo cujo sinal coincide com por e repetimos. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2. - Critério de parada pedido: usar
. Interpreto como tolerância para o semi-intervalo, isto é, parar quando . (Isto garante que o erro da bisseção na raiz é menor que .) - Escolha inicial:
(vimos que contém a raiz única). - Número mínimo de iterações necessárias: queremos
. Com e temos ⇒ (porque ). - Faço as iterações (calculei os pontos médios e os sinais — aqui explico cada passo):
- iteração:
. . Então novo intervalo . - iteração:
. . Então novo intervalo . - iteração:
. . Novo intervalo . - iteração:
. . Novo intervalo . - iteração:
. . Novo intervalo . - iteração:
. . Novo intervalo . - iteração:
. . Novo intervalo final .
- iteração:
- Paramos porque agora
. - Estimativa final da raiz pela bisseção: tomo o ponto médio do intervalo final,
Arredondando para quatro casas decimais: . - Observação didática: bisseção garante erro menor que
e é robusto, mas converge linearmente (não é muito rápido).
Passo 4
Método da posição falsa / régula falsi (item c). Explicação e execução:
- Ideia do método: com extremos
e com sinais opostos, em vez do ponto médio usa-se a interseção da secante que passa pelos pontos e . A fórmula do ponto de aproximação é Depois substituímos o extremo cujo sinal coincide com . - Critério de parada pedido:
. Interpreto como tolerância sobre o meio-intervalo (ou largura) e como tolerância para . Vou parar quando satisfizer pelo menos uma das duas condições: ou . - Começo com
, , . - Iterações (cálculos aproximados com 6 dígitos intermediários para clareza):
-
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. . Novo intervalo . -
. .
-
- Agora
. Portanto paramos e aceitamos como aproximação. - Resultado da posição falsa (arredondado a 4 casas decimais):
. - Observação: aqui parei pela condição em
; se tivéssemos exigido a largura do intervalo, poderia ser diferente. Posição falsa às vezes converte muito rápido no valor de , mas pode ficar “travada” em um dos extremos se a função for muito inclinada.
Passo 5
Método do ponto fixo (item d). Escolha de
, justificativa e execução:
- Reescrever a equação
como . Da equação obtemos, elevando ao quadrado: Essa dá , mas seu derivado em torno da raiz tem magnitude maior que 1 (não é contração para o ponto de interesse), então ela tende a divergir. - Uma forma alternativa (obtida fazendo logaritmo) é:
Assim escolho Essa escolha é boa porque seu derivado é e para valores de maiores que temos , condição típica de contração local. Como nossa raiz única fica perto de (maior que ), tende a ser contratante nessa vizinhança. - Critérios de parada pedidos:
. Vou parar quando tanto quanto . - Iteração (escolho
porque está perto da raiz): -
. Calculando , então Diferença . Calcule aproximadamente: usando séries/expansões rápidas ou cálculo direto, obtém-se .
-
- Ambos os critérios são satisfeitos já na primeira iteração (boa surpresa!). Então aceitamos
como aproximação. - Resultado do ponto fixo (4 casas decimais):
. - Observação didática: escolher a forma adequada de
é a parte chave do método do ponto fixo — uma má escolha pode divergir; uma boa escolha pode convergir rápido.
Passo 6
Método de Newton–Raphson (item e). Explicação e execução:
- Fórmula do método: dado
, Para nossa função já tínhamos Importante entender: é sempre positivo para , então não teremos divisões por zero no vizinhança da raiz (exceto em , mas não usamos isso). - Critérios de parada pedidos:
. Vou parar quando e . - Escolha de
: tomo (próximo do zero). - Iteração:
- Calculei
e . - Atualização:
Diferença . Além disso fica muito próximo de zero (da ordem ), ou seja .
- Calculei
- Portanto paramos após uma única iteração porque ambos os critérios foram satisfeitos.
- Resultado do Newton–Raphson (4 casas decimais):
. - Observação didática: Newton costuma convergir muito rápido quando a aproximação inicial é razoável (convergência quadrática local), por isso já temos alta precisão com poucas iterações.
Passo 7
Método da secante (item f). Explicação e execução:
- Ideia: parecido com Newton, mas aproxima a derivada por uma secante com dois pontos anteriores. A fórmula para a nova aproximação com pontos
e é Não precisamos calcular explicitamente , mas precisamos de duas aproximações iniciais. - Critérios de parada:
(paro quando e ). - Escolha inicial: usei
e (valores que já provavam mudança de sinal). - Iterações (resumo dos cálculos):
-
com . -
com . -
com . Aqui porém , então não basta. -
com e muito pequeno.
-
- Portanto paramos e tomamos
como aproximação final. - Resultado da secante (4 casas decimais):
. - Observação: secante costuma convergir mais rápido que métodos lineares, sem precisar da derivada, mas convergência não é garantida tão fortemente quanto Newton (por vezes pode oscilar).
Passo 8
Vantagem e desvantagem (item g). Vou escrever, para cada método pedido, uma vantagem e uma desvantagem curta e direta:
-
Bisseção
- Vantagem: garantia de convergência (robusto) se
e erro reduzido linearmente a cada iteração. - Desvantagem: convergência lenta (linear), exige bastante iterações para alta precisão.
- Vantagem: garantia de convergência (robusto) se
-
Posição falsa (régula falsi)
- Vantagem: pode convergir mais rápido que a bisseção porque usa informação da inclinação aproximada (secante).
- Desvantagem: às vezes “gruda” num extremo e converge muito lentamente em termos de reduzir o comprimento do intervalo (comportamento conhecido em certas funções).
-
Ponto fixo
- Vantagem: simples e exige apenas avaliar uma função
, sem derivadas; boa se escolhermos contratante. - Desvantagem: depende fortemente da escolha de
; uma escolha ruim pode divergir; convergência geralmente linear.
- Vantagem: simples e exige apenas avaliar uma função
-
Newton–Raphson
- Vantagem: convergência local muito rápida (quadrática) quando a aproximação inicial está suficientemente perto.
- Desvantagem: requer cálculo de
e pode falhar (divergir) se a aproximação inicial estiver ruim ou se for pequeno.
-
Secante
- Vantagem: não precisa de
(apenas valores de ), e costuma ser mais rápida que métodos lineares (ordem de convergência ~1,618). - Desvantagem: precisa de duas aproximações iniciais e não tem a robustez de bisseção; pode divergir ou oscilar em casos difíceis.
- Vantagem: não precisa de
Resposta
(a) Intervalo que contém a única raiz:
.\n(b) Bisseção (com
):
.\n(c) Posição falsa (com
):
.\n(d) Ponto fixo (com
, usando
):
.\n(e) Newton–Raphson (com
):
.\n(f) Secante (com
):
.\n(g) Vantagem/desvantagem de cada método:\nBisseção: vantagem — robusto; desvantagem — lento.\nPosição falsa: vantagem — pode ser mais rápido que bisseção; desvantagem — pode “grudar” num extremo e ser lento.\nPonto fixo: vantagem — simples, sem derivadas; desvantagem — depende da escolha de
e pode divergir.\nNewton–Raphson: vantagem — convergência muito rápida localmente; desvantagem — precisa de
e pode divergir se a inicial for ruim.\nSecante: vantagem — não precisa de
e geralmente rápido; desvantagem — menos robusto que bisseção e pode oscilar.