e precisamos encontrar \;x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}\; que satisfaça A x=b.
A resolução começa agora.]
Passo 2
Explicando rapidamente (didática): Eliminação de Gauss consiste em aplicar operações elementares sobre as linhas do sistema para obter uma matriz triangular superior (ou escalonada), de modo que depois possamos aplicar substituição regressiva (back substitution) para encontrar as incógnitas. Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra. Não esquenta: eu faço passo a passo e mostro cada conta.
Começamos convertendo o sistema na matriz aumentada e, por simplicidade, trocamos a linha 1 com a linha 2 (isso facilita porque a linha 2 tem 1 como primeiro coeficiente). Troca é permitida e preserva as soluções.
Agora a parte b): fatoração LU. Explico rapidamente: fatoração LU (no formato de Doolittle) escreve a matriz A como
A=L\,U,
onde L é triangular inferior com diagonais iguais a 1 e U é triangular superior. Em termos práticos, os multiplicadores que usamos na eliminação de Gauss formam as entradas sub-diagonais de L. A vantagem: depois fazemos duas substituições (forward e back) para resolver Ax=b de forma mais organizada: primeiro L y=b (forward), depois U x=y (back).
Importante: aqui não precisamos trocar linhas (pivot parcial), porque todos os pivôs que apareceram forem diferentes de zero. Portanto podemos aplicar Doolittle sem permutações.
Passo 8
Construímos L e U passo a passo (Doolittle). Começamos com A (relembrando):
Observação didática: os elementos L_{ij} (com i>j) são exatamente os multiplicadores usados na eliminação de Gauss; U é a matriz triangular superior resultante. Isso é a correspondência direta entre eliminação e fatoração LU.]
Passo 12
Agora resolvemos Ax=b usando L e U em duas etapas:
Resolver L\,y=b por substituição progressiva (forward substitution).
Resolver U\,x=y por substituição regressiva (back substitution).