\mathbf{9}^{\circ} Questão. Dada a equação polinomial x^{3}+3 x^{2}-1=0
a) Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.
b) Usando o Método da Secante, calcule uma aproximação para a menor raiz positiva da equação com precisão \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-3}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação polinomial \;x^{3}+3x^{2}-1=0\; e pede duas coisas:
a) determinar intervalos onde a equação possui uma única raiz real;
b) usando o Método da Secante, calcular uma aproximação para a menor raiz positiva com precisão \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-3}.
Informações dadas e que vamos usar: a função \;f(x)=x^{3}+3x^{2}-1\; (esta é a função cujas raízes queremos), e a tolerância para a segunda parte é \;10^{-3}.

Passo 2

Entender quantas raízes reais existem e onde elas ficam. Primeiro calculemos a derivada para achar pontos críticos (onde a função pode mudar de crescimento/decrescimento):
f'(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2).
Os pontos críticos são \;x=0\; e \;x=-2\;. Agora avaliamos f nesses pontos:
f(0)=0^{3}+3\cdot0^{2}-1=-1,
f(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}-1=-8+12-1=3.
Observe os limites nas extremidades:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Pelo Teorema do Valor Intermediário e pelo sinal de f em pontos críticos, concluímos que há três mudanças de sinal em intervalos separados, logo a equação tem três raízes reais distintas. Como f(-2)=3>0 e f(0)=-1<0, existe uma raiz em (-2,0). Como f(0)=-1<0 e f(1)=1+3-1=3>0, existe uma raiz em (0,1). Como f(-2)>0 e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, existe uma raiz em (-\infty,-2). Portanto cada um desses intervalos contém exatamente uma raiz.

Passo 3

Resumo do resultado da parte (a): já identificamos três intervalos disjuntos, cada um contendo uma única raiz real:
(-\infty,-2),\qquad (-2,0),\qquad (0,\infty).
(Em particular a raiz positiva está no subintervalo (0,1), pois f(0)=-1<0 e f(1)=3>0.)

Passo 4

Explicação didática do Método da Secante (para a parte b). A ideia: aproximamos a curva por uma linha secante que passa por dois pontos \;(x_{n-1},f(x_{n-1})) e \;(x_n,f(x_n)) e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. A fórmula do método da secante é
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Aqui:
  • \;x_{n-1} e \;x_n são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • \;f(x_n) e \;f(x_{n-1}) são as imagens por f;
  • a razão \dfrac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} é a inversa da inclinação da secante;
  • usamos \;x_{n+1} como nova aproximação até que \;|f(x_{n+1})|<10^{-3}.
Escolhemos como chutes iniciais os extremos do intervalo que contém a raiz positiva: \;x_0=0 e \;x_1=1 (porque \;f(0)=-1 e \;f(1)=3, ou seja, sinais opostos).

Passo 5

Iteração 0 e 1 (valores iniciais):
x_0=0,\qquad f(x_0)=f(0)=-1.
x_1=1,\qquad f(x_1)=f(1)=1+3-1=3.
Aplicando a fórmula da secante para obter x_2:
x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)} =1 - 3\cdot\frac{1-0}{3-(-1)}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
Agora calculemos f(x_2):
f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\left(\tfrac{1}{4}\right)^3+3\left(\tfrac{1}{4}\right)^2-1=\frac{1}{64}+\frac{3}{16}-1=\frac{13-64}{64}=-\frac{51}{64}\approx-0,796875.

Passo 6

Usando os dois últimos pontos x_1=1 e x_2=\tfrac{1}{4} para obter x_3:
x_3 = x_2 - f(x_2)\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)} =\frac{1}{4} - \left(-\frac{51}{64}\right)\frac{\frac{1}{4}-1}{-\frac{51}{64}-3}.
Fazendo as contas exatamente (mostro os passos essenciais):
\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4},\qquad -\frac{51}{64}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{153}{256},
-\frac{51}{64}-3=-\frac{51}{64}-\frac{192}{64}=-\frac{243}{64}.
Logo a fração inteira é
\frac{153}{256}\div\left(-\frac{243}{64}\right)=\frac{153}{256}\cdot\left(-\frac{64}{243}\right)=-\frac{17}{108}.
Portanto
x_3=\frac{1}{4}-\left(-\frac{17}{108}\right)=\frac{1}{4}+\frac{17}{108}=\frac{11}{27}\approx0,407407.
Calculemos f(x_3) exatamente:
f\!\left(\frac{11}{27}\right)=\left(\frac{11}{27}\right)^3+3\left(\frac{11}{27}\right)^2-1 =\frac{1331}{19683}+\frac{9801}{19683}-1=-\frac{8551}{19683}\approx-0,434563.

Passo 7

Agora fazemos uma iteração usando x_2=\tfrac{1}{4} e x_3=\tfrac{11}{27} (já temos f(x_2) e f(x_3)). Aplicando a fórmula (aqui uso aproximações decimais com precisão suficiente para seguir):
x_4 \approx 0,407407 - (-0,434563)\cdot\frac{0,407407-0,25}{-0,434563-(-0,796875)} \approx 0,596071.
Calculando f(x_4):
f(0,596071)\approx(0,596071)^3+3(0,596071)^2-1\approx0,2777.
Agora temos sinais opostos entre x_3 (com f<0) e x_4 (com f>0), então a raiz está entre eles.

Passo 8

Continuamos iterando (sempre com a fórmula da secante) usando os dois últimos pontos a cada passo. Iterações seguintes (valores arredondados para facilitar leitura, mas mantivemos precisão suficiente para o critério):
  • Usando x_3\approx0,407407 e x_4\approx0,596071 obtemos
x_5\approx0,522530,\qquad f(x_5)\approx-0,038237.
  • Usando x_4\approx0,596071 e x_5\approx0,522530 obtemos
x_6\approx0,531430,\qquad f(x_6)\approx-0,002677.
  • Usando x_5\approx0,522530 e x_6\approx0,531430 obtemos
x_7\approx0,532099,\qquad f(x_7)\approx0,000254.

Passo 9

Verificação do critério de parada: em x_7 temos \;|f(x_7)|\approx0,000254<10^{-3}\;, portanto atingimos a precisão exigida. Assim a aproximação obtida pela secante para a menor raiz positiva é \;x\approx0,532099\;.

Resposta

(- \infty,-2),\;(-2,0),\;(0,\infty)
x\approx0,532099

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