Questão. Dada a equação polinomial
a) Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.
b) Usando o Método da Secante, calcule uma aproximação para a menor raiz positiva da equação com precisão
.
a) Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.
b) Usando o Método da Secante, calcule uma aproximação para a menor raiz positiva da equação com precisão
Passo 1
O enunciado fornece a equação polinomial
e pede duas coisas:
a) determinar intervalos onde a equação possui uma única raiz real;
b) usando o Método da Secante, calcular uma aproximação para a menor raiz positiva com precisão .
Informações dadas e que vamos usar: a função (esta é a função cujas raízes queremos), e a tolerância para a segunda parte é
.
a) determinar intervalos onde a equação possui uma única raiz real;
b) usando o Método da Secante, calcular uma aproximação para a menor raiz positiva com precisão
Informações dadas e que vamos usar: a função
Passo 2
Entender quantas raízes reais existem e onde elas ficam. Primeiro calculemos a derivada para achar pontos críticos (onde a função pode mudar de crescimento/decrescimento):
Os pontos críticos são
e
. Agora avaliamos
nesses pontos:
Observe os limites nas extremidades:
Pelo Teorema do Valor Intermediário e pelo sinal de
em pontos críticos, concluímos que há três mudanças de sinal em intervalos separados, logo a equação tem três raízes reais distintas. Como
e
, existe uma raiz em
. Como
e
, existe uma raiz em
. Como
e
, existe uma raiz em
. Portanto cada um desses intervalos contém exatamente uma raiz.
Passo 3
Resumo do resultado da parte (a): já identificamos três intervalos disjuntos, cada um contendo uma única raiz real:
(Em particular a raiz positiva está no subintervalo
, pois
e
.)
Passo 4
Explicação didática do Método da Secante (para a parte b). A ideia: aproximamos a curva por uma linha secante que passa por dois pontos
e
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
. A fórmula do método da secante é
Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são as imagens por ; - a razão
é a inversa da inclinação da secante; - usamos
como nova aproximação até que .
Escolhemos como chutes iniciais os extremos do intervalo que contém a raiz positiva:
e
(porque
e
, ou seja, sinais opostos).
Passo 5
Iteração 0 e 1 (valores iniciais):
Aplicando a fórmula da secante para obter
:
Agora calculemos
:
Passo 6
Usando os dois últimos pontos
e
para obter
:
Fazendo as contas exatamente (mostro os passos essenciais):
Logo a fração inteira é
Portanto
Calculemos
exatamente:
Passo 7
Agora fazemos uma iteração usando
e
(já temos
e
). Aplicando a fórmula (aqui uso aproximações decimais com precisão suficiente para seguir):
Calculando
:
Agora temos sinais opostos entre
(com
) e
(com
), então a raiz está entre eles.
Passo 8
Continuamos iterando (sempre com a fórmula da secante) usando os dois últimos pontos a cada passo. Iterações seguintes (valores arredondados para facilitar leitura, mas mantivemos precisão suficiente para o critério):
- Usando
e obtemos
- Usando
e obtemos
- Usando
e obtemos
Passo 9
Verificação do critério de parada: em
temos
, portanto atingimos a precisão exigida. Assim a aproximação obtida pela secante para a menor raiz positiva é
.