P=[lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ], L=[rrr 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ] e U=[rrr 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 ]
a) Usando a decomposição acima, resolva o sistema linear A x=b, onde b=[lll1 & 2 & -1]^T.
b) Obtenha a matriz A.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar aquela decomposição com permutação , matriz triangular inferior e triangular superior pra:
a) Resolver o sistema sabendo que .
b) Achar de fato a matriz .
Matéria: fatoração LU com permutações (pivotamento). Vamos precisar entender como aplicar em , resolver sistemas triangulares ( e depois ), e depois recompor via .

Passo 2

Primeiro, como temos P,A,x ;=; P,b ;Longrightarrow; L,U,x ;=; P,b , multiplica as duas lado de P = 0&1&00&0&11&0&0, b = 12-1, por P,b = 2-11 :
Então vamos calcular . Com
a permutação faz o segundo elemento virar primeiro, o terceiro virar segundo, e o primeiro virar terceiro. Logo

Passo 3

Agora resolvemos o sistema triangular inferior
L,y = P,b, L = 1&0&0 2&1&0 -1&0&1 , P,b = 2-11
Como y = 2-53 é lower triangular com 1’s na diagonal, fazemos “para cima”:
  1. .
  2. Da 2ª linha:
  3. Da 3ª linha:

    Então

Passo 4

Em seguida, resolvemos U = 2&3&-1 0&-2&1 0&0&3 , y = 2-53 com
x = -331
Como é triangular superior:
  1. 3ª linha:
  2. 2ª linha:
  3. 1ª linha:

    Logo

Passo 5

Para achar A = P^T,L,U , usamos a relação L,U = 1&0&02&1&0-1&0&1 2&3&-10&-2&10&0&3 = 2&3&-1 4&4&-1 -2&-3&4 . Como P^T = 0&0&11&0&00&1&0 , A = P^T,(L,U) = -2&-3&4 2&3&-1 4&4&-1 é inversível e , temos
  1. Primeiro calcula :

[
L,U
=

.
]
2) Depois multiplica pela :
[
P^T
= ,
\quad
A = P^T,(L,U)

.
]

Resposta

Solução do sistema:
x = -331
Matriz A = -2 & -3 & 4 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1 :

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