(a) Analisando apenas as condições suficientes de convergência, verifique se o método de Jacobi converge, quando aplicado a este sistema.
(b) Resolva o sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi, utilizando para aproximação inicial o ponto (0,0,0)^T. Continue as iterações até que as duas últimas iterações sucessivas sejam idênticas e utilize 3 algarismos significativos.
Passo 1
O exercício pede duas coisas:
Verificar, pelas condições suficientes de convergência, se o método de Jacobi converge para o sistema
[ 5 & -2 & 3 -3 & 9 & 1 2 & -1 & -7 x1x2x3 = -123
.
]
Se o método convergir, calcular as aproximações por Jacobi começando em até que duas iterações seguidas coincidam, usando 3 algarismos significativos.
Conteúdo envolvido: métodos iterativos (Jacobi), teste de dominância diagonal e montagem da iteração.
Passo 2
Condição suficiente de convergência de Jacobi: a matriz dos coeficientes deve ser estritamente diagonalmente dominante em cada linha, ou seja, para cada linha |aii| > sumjneq i|aij| ,
5&-2&3-3&9&12&-1&-7
Vamos checar linha a linha de :
Linha 1: vs . Aqui , não é estritamente maior, é igual.
Linha 2: vs . OK, 9>4.
Linha 3: vs . OK, 7>3.
Como a linha 1 não é estritamente dominante, a condição suficiente falha. Logo não podemos garantir a convergência pelo teste de dominância diagonal.
Passo 3
Mesmo sem garantia formal, podemos tentar o método e ver se acaba convergindo.
A iteração de Jacobi escreve cada x1^(k+1)=-1 +2,x2^(k) -3,x3^(k)5,[1em] x2^(k+1)=2 +3,x1^(k) -1,x3^(k)9,[1em] x3^(k+1)=-3 +2,x1^(k) -1,x2^(k)7 isolado na i-ésima equação, usando valores da iteração anterior:
O chute inicial é .
Passo 4
Vamos iterar e arredondar cada valor a 3 algarismos significativos. Paramos quando duas iterações seguidas coincidirem em todos os componentes.
As iterações 6 e 7 coincidem em 3 algarismos significativos, então paramos.
Resposta
(a) Pelas condições suficientes (dominância diagonal) não há garantia de convergência no caso geral.
(b) Aplicando o método de Jacobi até estabilidade de 3 algarismos, obtemos