[ccc 5 & -2 & 3 -3 & 9 & 1 2 & -1 & -7 ] cdot[l x1 x2 x3 ]=[c -1 2 3 ]
(a) Analisando apenas as condições suficientes de convergência, verifique se o método de Jacobi converge, quando aplicado a este sistema.
(b) Resolva o sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi, utilizando para aproximação inicial o ponto (0,0,0)^T. Continue as iterações até que as duas últimas iterações sucessivas sejam idênticas e utilize 3 algarismos significativos.

Passo 1

O exercício pede duas coisas:
  1. Verificar, pelas condições suficientes de convergência, se o método de Jacobi converge para o sistema

[
5 & -2 & 3 -3 & 9 & 1 2 & -1 & -7 x1x2x3 = -123

.
]
  1. Se o método convergir, calcular as aproximações por Jacobi começando em até que duas iterações seguidas coincidam, usando 3 algarismos significativos.
    Conteúdo envolvido: métodos iterativos (Jacobi), teste de dominância diagonal e montagem da iteração.

Passo 2

Condição suficiente de convergência de Jacobi: a matriz dos coeficientes deve ser estritamente diagonalmente dominante em cada linha, ou seja, para cada linha |aii| > sumjneq i|aij| ,
5&-2&3-3&9&12&-1&-7
Vamos checar linha a linha de
:
  • Linha 1: vs . Aqui , não é estritamente maior, é igual.
  • Linha 2: vs . OK, 9>4.
  • Linha 3: vs . OK, 7>3.
Como a linha 1 não é estritamente dominante, a condição suficiente falha. Logo não podemos garantir a convergência pelo teste de dominância diagonal.

Passo 3

Mesmo sem garantia formal, podemos tentar o método e ver se acaba convergindo.
A iteração de Jacobi escreve cada x1^(k+1)=-1 +2,x2^(k) -3,x3^(k)5,[1em] x2^(k+1)=2 +3,x1^(k) -1,x3^(k)9,[1em] x3^(k+1)=-3 +2,x1^(k) -1,x2^(k)7 isolado na i-ésima equação, usando valores da iteração anterior:
O chute inicial é .

Passo 4

Vamos iterar e arredondar cada valor a 3 algarismos significativos. Paramos quando duas iterações seguidas coincidirem em todos os componentes.
k=0: x1^(1)=-1+0-05=-0,2, x2^(1)=2+0-09=0,222, x3^(1)=-3+0-07=-0,429
k=1:
x1^(2)=0,146, x2^(2)=0,203, x3^(2)=-0,517
k=2:
x1^(3)=0,191, x2^(3)=0,328, x3^(3)=-0,416
k=3:
x1^(4)=0,181, x2^(4)=0,332, x3^(4)=-0,421
k=4:
x1^(5)=0,185, x2^(5)=0,329, x3^(5)=-0,424
k=5:
x1^(6)=0,186, x2^(6)=0,331, x3^(6)=-0,423
k=6:
x1^(7)=0,186, x2^(7)=0,331, x3^(7)=-0,423
k=7:
As iterações 6 e 7 coincidem em 3 algarismos significativos, então paramos.

Resposta

(a) Pelas condições suficientes (dominância diagonal) não há garantia de convergência no caso geral.
(b) Aplicando o método de Jacobi até estabilidade de 3 algarismos, obtemos
(x1,x2,x3)approx(0,186,;0,331,;-0,423)^T

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