Resolva o sistema linear abaixo, com método de Gauss-Jacobi e o método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial x0 ^(0)=[0,0,0]^top e critério de parada, Dr <= 10^-2: ( 5 pontos, 3 pontos Jacobi e 2 pontos Seidel).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra resolver o sistema
4x1+x2-x3=3, 2x1+5x2+x3=6, x1+2x2+4x3=7,
usando dois métodos iterativos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel) com chute inicial Dr=maxi|xi^(k+1)-xi^(k)|maxi|xi^(k+1)|<=10^-2 e critério de parada
O assunto é “métodos iterativos para sistemas lineares”. Vamos precisar:
  1. Isolar cada em função das outras (garantindo diagonal dominante).
  2. Aplicar a fórmula iterativa de cada método.
  3. Calcular em cada passo o até ficar ≤ 0,01.

Passo 2

Gauss–Jacobi: em cada iteração usamos só os valores da iteração anterior. Isolando:
x1^(k+1)&=14l(3 - x2^(k) + x3^(k)r), x2^(k+1)&=15l(6 - 2,x1^(k) - x3^(k)r), x3^(k+1)&=14l(7 - x1^(k) - 2,x2^(k)r)
E o critério
Dr^(k)=maxlimitsil|xi^(k+1)-xi^(k)r|maxlimitsil|xi^(k+1)r|

Passo 3

Vamos iterar até x1^(1)&=tfrac3-0+04=0.75, x2^(1)&=tfrac6-0-05=1.20, x3^(1)&=tfrac7-0-04=1.75, Dr^(1)=max(0.75,1.20,1.75)max(0.75,1.20,1.75)=1>0.01 . Chute inicial x1^(2)&=tfrac3-1.20+1.754=0.8875, x2^(2)&=tfrac6-2(0.75)-1.755=0.55, x3^(2)&=tfrac7-0.75-2(1.20)4=0.9625, Dr^(2)approx0.818>0.01 .
Iteração 1:
x^(3)approx(0.8531,,0.6525,,1.2531), Dr^(3)approx0.232>0.01
Iteração 2:
x^(4)approx(0.9002,,0.6081,,1.2105), Dr^(4)approx0.0389>0.01
Iteração 3:
x^(5)approx(0.9006,,0.5978,,1.2209), Dr^(5)approx0.0085<0.01
Iteração 4:
Iteração 5:
Pare!

Passo 4

Gauss–Seidel: agora usamos valores já atualizados assim que aparecem:
x1^(k+1)&=14l(3 - x2^(k) + x3^(k)r), x2^(k+1)&=15l(6 - 2,x1^(k+1) - x3^(k)r), x3^(k+1)&=14l(7 - x1^(k+1) - 2,x2^(k+1)r)

Passo 5

Iteração 1 ( x^(1)approx(0.75,,0.90,,1.1125), Dr^(1)=1>0.01 ):
x^(2)approx(0.8031,,0.6563,,1.2211), Dr^(2)approx0.1996>0.01
Iteração 2:
x^(3)approx(0.8912,,0.5993,,1.2275), Dr^(3)approx0.0718>0.01
Iteração 3:
x^(4)approx(0.9071,,0.5917,,1.2274), Dr^(4)approx0.0129>0.01
Iteração 4:
x^(5)approx(0.9089,,0.5910,,1.2273), Dr^(5)approx0.0015<0.01
Iteração 5:
Pare!

Resposta

Método de Gauss–Jacobi:
xapproxl(0.9006,;0.5978,;1.2209r)^top
Método de Gauss–Seidel:
xapproxl(0.9089,;0.5910,;1.2273r)^top

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