Seja
, a função tabelada abaixo. Usando 2 casas de arredondamento.
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1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
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7,39 | 54,60 | 403,42 |
Determine o erro de truncamento, causado pelo arredondamento e interpolação.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
e a tabela arredondada com 2 casas decimais:
x=1 → y₁=7,39
x=2 → y₂=54,60
x=3 → y₃=403,42
x=1 → y₁=7,39
x=2 → y₂=54,60
x=3 → y₃=403,42
O que se pede é
- o erro de arredondamento (devido ao fato de cada yᵢ ter sido arredondado a 2 casas)
- o erro de truncamento (ou resto) da interpolação polinomial de grau 2 nesses 3 pontos.
Para resolver vamos precisar de:
- Entender o “erro máximo” de cada yᵢ arredondado.
- Saber construir o polinômio de Lagrange de grau 2 e como o erro de interpolação se expressa via termo de resto.
Passo 2
Erro de arredondamento em cada yᵢ:
Como cada valor foi arredondado a 2 decimais, a metade da última casa é
Como cada valor foi arredondado a 2 decimais, a metade da última casa é
Ou seja, o valor “verdadeiro” yᵢ satisfaz
Passo 3
Propagação do erro de arredondamento no polinômio de Lagrange
O polinômio de grau 2 que interpola (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) é
onde
Se cada yᵢ estiver “errado” até ±δ, então o valor de P₂(x) pode sofrer um desvio máximo
Ou seja,
Passo 4
Erro de truncamento (resto) da interpolação
A fórmula do resto de Lagrange para grau 2 é
para algum
f'(x)=2e^2x, f''(x)=4e^2x, f^(3)(x)=8e^2x entre 1 e 3.
Como
R2(x) =8,e^2xi6,(x-1)(x-2)(x-3) =4,e^2xi3,(x-1)(x-2)(x-3), , temos
Logo
Se quisermos um majorante (um limite superior) em todo o intervalo
, note que
. Então
Resposta
Erros aproximados para qualquer
boxedErm arred(x);<=;0,005;l(|L1(x)|+|L2(x)|+|L3(x)|r), :
- Erro de arredondamento na interpolação
com
- Erro de truncamento (resto de Lagrange)
ou, em forma de cota global,