Seja y=e^2x, a função tabelada abaixo. Usando 2 casas de arredondamento.
x 1 2 3
Y 7,39 54,60 403,42
Determine o erro de truncamento, causado pelo arredondamento e interpolação.

Passo 1

Beleza! A gente tem a função
f(x)=e^2x
e a tabela arredondada com 2 casas decimais:
x=1 → y₁=7,39
x=2 → y₂=54,60
x=3 → y₃=403,42
O que se pede é
  1. o erro de arredondamento (devido ao fato de cada yᵢ ter sido arredondado a 2 casas)
  2. o erro de truncamento (ou resto) da interpolação polinomial de grau 2 nesses 3 pontos.
Para resolver vamos precisar de:
  • Entender o “erro máximo” de cada yᵢ arredondado.
  • Saber construir o polinômio de Lagrange de grau 2 e como o erro de interpolação se expressa via termo de resto.

Passo 2

Erro de arredondamento em cada yᵢ:
Como cada valor foi arredondado a 2 decimais, a metade da última casa é
de
Ou seja, o valor “verdadeiro” yᵢ satisfaz
|,yi^(verdadeiro) - yi^(tabelado),|<= 0,005

Passo 3

Propagação do erro de arredondamento no polinômio de Lagrange
O polinômio de grau 2 que interpola (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) é
P2(x)=sumi=1^3 yi,Li(x),
onde
L1(x)=(x-2)(x-3)(1-2)(1-3), L2(x)=(x-1)(x-3)(2-1)(2-3), L3(x)=(x-1)(x-2)(3-1)(3-2)
Se cada yᵢ estiver “errado” até ±δ, então o valor de P₂(x) pode sofrer um desvio máximo
Erm arred(x);<=;sumi=1^3 l|Li(x)r|;de
Ou seja,
Erm arred(x);<=;0,005;l(,|L1(x)|+|L2(x)|+|L3(x)|r)

Passo 4

Erro de truncamento (resto) da interpolação
A fórmula do resto de Lagrange para grau 2 é
R2(x) = f(x)-P2(x) = f^(3)(xi)3!,(x-1)(x-2)(x-3),
para algum f'(x)=2e^2x, f''(x)=4e^2x, f^(3)(x)=8e^2x entre 1 e 3.
Como R2(x) =8,e^2xi6,(x-1)(x-2)(x-3) =4,e^2xi3,(x-1)(x-2)(x-3), , temos
l|R2(x)r| ;<=; 4,e^63;l|(x-1)(x-2)(x-3)r|
Logo
.
Se quisermos um majorante (um limite superior) em todo o intervalo , note que
. Então

Resposta

Erros aproximados para qualquer boxedErm arred(x);<=;0,005;l(|L1(x)|+|L2(x)|+|L3(x)|r), :
  1. Erro de arredondamento na interpolação
L1(x)=(x-2)(x-3)2, L2(x)=-,(x-1)(x-3), L3(x)=(x-1)(x-2)2
com
boxedR2(x)=4,e^2xi3,(x-1)(x-2)(x-3),;xiin[1,3],
  1. Erro de truncamento (resto de Lagrange)
boxedl|R2(x)r|<= 4,e^63,l|(x-1)(x-2)(x-3)r|,
ou, em forma de cota global,

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