6 Resolva o sistema linear abaixo pelo Método de Jacobi \operatorname{com} \mathrm{x}^{(0)}=(0,3,1,4)^{\mathrm{T}} e \varepsilon=10^{-3}.
\left\{\begin{array}{r} 5 . x_{1}-1 . x_{2}+2 . x_{3}-1 . x_{4}=5 \\ 1 . x_{1}+9 . x_{2}-3 . x_{3}+4 . x_{4}=26 \\ 3 . x_{2}-7 . x_{3}+2 . x_{4}=-7 \\ -2 . x_{1}+2 . x_{2}-3 . x_{3}+10 . x_{4}=33 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo Método de Jacobi o sistema
\begin{cases} 5x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=5,\\\ x_{1}+9x_{2}-3x_{3}+4x_{4}=26,\\\\ 3x_{2}-7x_{3}+2x_{4}=-7,\\\\ -2x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+10x_{4}=33, \end{cases}
usando a aproximação inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,3,1,4)^{T} e critério de tolerância \varepsilon=10^{-3}. O conteúdo aqui é iteração de sistemas lineares por Jacobi, que exige isolar cada variável em sua equação e iterar até que \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}\le\varepsilon.

Passo 2

Isolando cada x_{i} em sua equação, obtemos as fórmulas de iteração
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(5 + x_{2}^{(k)} - 2\,x_{3}^{(k)} + x_{4}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{9}\bigl(26 - x_{1}^{(k)} + 3\,x_{3}^{(k)} - 4\,x_{4}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{7}\bigl(7 + 3\,x_{2}^{(k)} + 2\,x_{4}^{(k)}\bigr),
x_{4}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(33 + 2\,x_{1}^{(k)} - 2\,x_{2}^{(k)} + 3\,x_{3}^{(k)}\bigr).
A cada iteração calculamos \mathbf{x}^{(k+1)} a partir de \mathbf{x}^{(k)}.

Passo 3

O critério de parada é
\|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty} =\max_{1\le i\le4}\bigl|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\bigr| \le10^{-3}.
Continuamos iterando até que a diferença máxima entre componentes consecutivas caia abaixo de 10^{-3}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas, obtemos as primeiras iterações:
\mathbf{x}^{(1)}=(2,\tfrac{13}{9},\tfrac{24}{7},3)^{T},
\mathbf{x}^{(2)}\approx(0.5175,2.4762,2.4762,4.4397)^{T},
\mathbf{x}^{(3)}\approx(1.3927,1.6836,3.3297,3.6511)^{T}.
Prosseguimos dessa forma até atingir o critério.

Passo 5

Após 22 iterações chega-se a
\mathbf{x}^{(21)}\approx(1.00058,\,1.99952,\,3.00052,\,3.99947)^{T}, \quad \mathbf{x}^{(22)}\approx(0.99959,\,2.00034,\,2.99964,\,4.00038)^{T},
e
\|\mathbf{x}^{(22)}-\mathbf{x}^{(21)}\|_{\infty} \approx0.00099<10^{-3},
logo paramos no k=22.

Resposta

A solução aproximada pelo Método de Jacobi com \varepsilon=10^{-3} é
\mathbf{x}\approx(0.9996,\,2.0003,\,2.9996,\,4.0004)^{T}
obtida em 22 iterações.

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