Resolva o sistema linear abaixo usando a fatoração L.U., sem pivotação.
l 3 x1+2 x2+4 x3=1 x1+x2+2 x3=2 4 x1+3 x2+2 x3=3

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem o sistema
3x1 + 2x2 + 4x3 = 1, x1 + x2 + 2x3 = 2, 4x1 + 3x2 + 2x3 = 3,
e o objetivo é resolver usando fatoração sem pivotação.
Conteúdo da matéria: fatoração LU (método de Doolittle), substituição progressiva (para ) e regressiva (para ). Vamos precisar saber multiplicação de matrizes e como resolver sistemas triangulares.

Passo 2

Como no método de Doolittle a gente escreve
A = 3 & 2 & 4 1 & 1 & 2 4 & 3 & 2 = L,U
onde
  • é triangular inferior com 1’s na diagonal,
  • é triangular superior.
    A ideia é achar os coeficientes de e de modo que . Depois a gente resolve (sub. progressiva) e (sub. regressiva).

Passo 3

Calcular L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e L = 1 & 0 & 0 tfrac13 & 1 & 0 tfrac43 & 1 & 1 , U = 3 & 2 & 4 0 & tfrac13 & tfrac23 0 & 0 & -4 passo a passo. Denotando
  1. .
Portanto

Passo 4

Resolver y = 1[4pt]tfrac53[4pt]0 com . Isso é substituição progressiva:
Então

Passo 5

Resolver por substituição regressiva:
  1. Da 3ª linha:
  2. Da 2ª linha:
  3. Da 1ª linha:

Resposta

x = l(x1,,x2,,x3r) = l(-3,,5,,0r)

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