Seja A=[rrc5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10].
Resolver o sistema A X=B, onde B=(r-12 20 3).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a matriz
A=5&2&1-1&4&22&-3&10
e o vetor
B=-12203,
e quer resolver o sistema linear
A,X = B
ou seja achar o vetor coluna X=(x,y,z)^T que satisfaça essa equação.
Conteúdo: sistema linear 3×3 e eliminação de Gauss (operações elementares em linhas, pivôs, escalonamento e retro-substituição).

Passo 2

Primeiro vamos montar a matriz aumentada [A|B]:
[ccc|c 5 & 2 & 1 & -12 -1& 4 & 2 & 20 2 & -3&10 & 3 ]
A ideia da eliminação de Gauss é usar operações em linhas (trocar linhas, multiplicar por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra) para chegar numa forma triangular superior.

Passo 3

  1. Vamos zerar a coluna 1 (variável x) nas linhas 2 e 3, usando a linha 1 como pivô.
  • Multiplico a linha 2 por 5 e somo a linha 1: L2 5L2+L1 ;Longrightarrow; [0;;22;;11mid 88]Divido essa nova linha 2 por 11: L2 111L2 ;Longrightarrow; [0;;2;;1mid 8]
  • Multiplico a linha 3 por 5 e subtraio 2 vezes a linha 1: L3 5L3-2L1 ;Longrightarrow; [0;-19;;48mid 39]
Agora a matriz está
[ccc|c 5 & 2 & 1 & -12 0 & 2 & 1 & 8 0 & -19 & 48 & 39 ]

Passo 4

  1. Agora usamos a linha 2 (pivô na coluna y) para zerar a coluna 2 na linha 3:
  • Multiplico linha 3 por 2 e somo 19 vezes a linha 2: L3 2L3 + 19L2 ;Longrightarrow; [0;0;115mid 230]Depois divido por 115: L3 tfrac1115L3 ;Longrightarrow; [0;0;1mid 2]
Agora temos a forma escalonada:
[ccc|c 5 & 2 & 1 & -12 0 & 2 & 1 & 8 0 & 0 & 1 & 2 ]

Passo 5

  1. Retro-substituição (back-substitution):
  • Da linha 3: z = 2.
  • Da linha 2: 2y + z = 8 ;Longrightarrow;2y + 2 = 8;Longrightarrow;y=3.
  • Da linha 1: 5x + 2y + z = -12 ;Longrightarrow;5x + 2cdot3 + 2 = -12;Longrightarrow;5x +8 = -12;Longrightarrow;x=-4.

Resposta

X = -432

Exercícios relacionados