Resolva o sistema linear abaixo usando a fatoração L.U., com pivotação parcial.
l 3 x1+2 x2+4 x3=1 x1+x2+2 x3=2 4 x1+3 x2+2 x3=3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver o sistema
3x1 + 2x2 + 4x3 = 1, x1 + x2 + 2x3 = 2, 4x1 + 3x2 + 2x3 = 3
usando fatoração LU com pivotação parcial.
Conteúdo: método de eliminação de Gauss aprimorado com matriz de permutação , decompor , depois resolver dois sistemas triangulares.
O que vamos usar:
– Troca de linhas para pivotação parcial.
– Cálculo de multiplicadores pra montar e zerar abaixo do pivô em .
– Substituição progressiva em .
– Substituição regressiva em .

Passo 2

Primeiro pivô (coluna 1): os candidatos são P = 0&0&1 0&1&0 1&0&0 , . O maior é 4 (linha 3), então trocamos linha 1 com linha 3. Isso gera a permutação
PA = 4 & 3 & 2 1 & 1 & 2 3 & 2 & 4 , Pb = 321
e
m21 = 14, m31 = 34
Agora calculamos os multiplicadores para zerar abaixo de linha2 & (1,1,2) - tfrac14,(4,3,2) = (0,tfrac14,tfrac32), linha3 & (3,2,4) - tfrac34,(4,3,2) = (0,-tfrac14,tfrac52) :
L = 1 & 0 & 0 tfrac14& 1 & 0 tfrac34& 0 & 1 , Uparcial = 4 & 3 & 2 0 & tfrac14 & tfrac32 0 & -tfrac14& tfrac52
Subtraímos essas múltiplas da linha 1 das linhas 2 e 3:
Até aqui temos

Passo 3

Segundo pivô (coluna 2): entre m32 = -tfrac14tfrac14 = -1 e linha3 (0,-tfrac14,tfrac52) -(-1),(0,tfrac14,tfrac32) = (0,0,4) ambos valem L = 1 & 0 & 0 tfrac14& 1 & 0 tfrac34& -1 & 1 , U = 4 & 3 & 2 0 & tfrac14 & tfrac32 0 & 0 & 4 , então não trocamos nada. O pivô é .
Calculamos
Subtraímos vez a linha 2 da linha 3 (ou seja, somamos linha 2 à linha 3):
Agora

Passo 4

Agora resolvemos Pb = 321, L = 1 & 0 & 0 tfrac14& 1 & 0 tfrac34& -1 & 1 por substituição progressiva.
y = 3[3pt]tfrac54[3pt]0
Escrevendo as equações:

  1. Logo

Passo 5

Por fim resolvemos U = 4 & 3 & 2 0 & tfrac14 & tfrac32 0 & 0 & 4 , y = 3[2pt]tfrac54[2pt]0 por substituição regressiva.
Equações de baixo pra cima:
3)
2)

Resposta

(x1,x2,x3) = (-3,;5,;0)

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