Seja A=[rrc5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10].
Verifique se A satisfaz as condições da decomposição L.U.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente checar se a matriz
A = 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10
satisfaz as condições pra existir uma decomposição sem pivoteamento.
Conteúdo: fatoração LU e condições de existência (princípios dos menores principais).
O que vamos precisar: calcular os determinantes dos menores principais de ordem 1, 2 e 3 e ver se todos são diferentes de zero.

Passo 2

Teoria rápida:
Uma matriz quadrada admite fatoração a11&a12a21&a22 sem pivoteamento se e somente se todos os menores principais (ou seja, os determinantes dos sub‐blocos superiores–esquerdos) de ordem forem não‐nulos.
  • Menor principal de ordem 1: .
  • Menor principal de ordem 2: .
  • Menor principal de ordem 3: .

Passo 3

Calcular o menor de ordem 1:
D1 = detl([5]r) = 5
Como , beleza até aqui.

Passo 4

Calcular o menor de ordem 2 (pegando as duas primeiras linhas e colunas):
D2 = det 5 & 2 -1 & 4 = 5cdot4 - (-1)cdot2 = 20 + 2 = 22
Aqui , também tá de boa.

Passo 5

Calcular o menor de ordem 3, que é det(A) = 5det4&2-3&10 -2det-1&22&10 +1det-1&42&-3 :
4&2-3&10
Vamos ver cada cofactor:
  1. -1&22&10.
  2. -1&42&-3.
  3. det(A) = 5cdot46 ;-;2cdot(-14);+;1cdot(-5) = 230 + 28 - 5 = 253 .
    Logo
E .

Resposta

Como todos os menores principais , e são diferentes de zero, a matriz satisfaz as condições para existir a decomposição sem pivoteamento.

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