Seja o sistema linear
[lll k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 3 ]
Usando o critério de linhas, verifique quais os valores positivos de k que garantem a convergência do Método de Gauss-Seidel.

Passo 1

Beleza, temos um sistema linear
[
k & 3 & 1 k & 7 & 1 1 & 6 & 8 x1x2x3 = 123
|aii| ;>;sumjneq i|aij|,


]
e a gente quer saber para quais o Método de Gauss–Seidel convergirá.
Conteúdo: critério de dominância diagonal por linhas (também chamado de critério de linhas).
O que precisamos: saber que, se em cada linha da matriz valer
então a convergência do Gauss–Seidel fica garantida.

Passo 2

Vamos aplicar essa definição linha a linha.
Para a linha 1, |a11| > |a12| + |a13| Longrightarrow |k| > 3 + 1 Longrightarrow k > 4 e os outros elementos são e . O critério diz:

Passo 3

Linha 2: |a22| > |a21| + |a23| Longrightarrow 7 > k + 1 Longrightarrow k < 6 e os outros são e .

Passo 4

Linha 3: |a33| > |a31| + |a32| Longrightarrow 8 > 1 + 6 Longrightarrow 8 > 7, e os outros são e .
que já é verdade para qualquer .

Passo 5

Agora juntamos as condições:
k > 4 e k < 6 e ainda k>0
Ou seja, .

Resposta

Os valores positivos de boxed4 < k < 6 que garantem a convergência do Método de Gauss–Seidel são aqueles no intervalo

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