Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminaçảo de Gauss:
\left\{\begin{array}{c} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3}=10 \\\ x_{1}+10 x_{2}+x_{3}=12 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}=11 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 10x_{1} + x_{2} - x_{3} = 10,\\\ x_{1} + 10x_{2} + x_{3} = 12,\\\\ 2x_{1} - x_{2} + 10x_{3} = 11 \end{cases}
pelo método da Eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e usar operações de linha para transformá-la numa forma triangular superior, depois fazer a substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada correspondente:
\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1 & \vrule & 10\\\\ 1 & 10 & 1 & \vrule & 12\\\\ 2 & -1 & 10 & \vrule & 11 \end{pmatrix}

Passo 3

Usamos a_{11}=10 como pivô para zerar as entradas abaixo dele na coluna 1. Aplicamos
R_{2} \leftarrow R_{2} - \tfrac{1}{10}R_{1}, \quad R_{3} \leftarrow R_{3} - \tfrac{2}{10}R_{1}.
Isso produz
\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1 & \vrule & 10\\\\ 0 & \tfrac{99}{10} & \tfrac{11}{10} & \vrule & 11\\\\ 0 & -\tfrac{6}{5} & \tfrac{51}{5} & \vrule & 9 \end{pmatrix}

Passo 4

Agora usamos o pivô a_{22}=\tfrac{99}{10} para zerar a entrada a_{32}=-\tfrac{6}{5}. O fator de eliminação é
\frac{a_{32}}{a_{22}} = -\tfrac{6}{5}\,\bigl/\tfrac{99}{10} = -\tfrac{6}{5}\cdot\tfrac{10}{99} = -\tfrac{4}{33}.
Então fazemos
R_{3} \leftarrow R_{3} - \bigl(-\tfrac{4}{33}\bigr)R_{2} = R_{3} + \tfrac{4}{33}R_{2},
obtendo a forma triangular superior:
\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1 & \vrule & 10\\\\ 0 & \tfrac{99}{10} & \tfrac{11}{10} & \vrule & 11\\\\ 0 & 0 & \tfrac{341}{33} & \vrule & \tfrac{341}{33} \end{pmatrix}

Passo 5

Fazendo a substituição regressiva:
Da terceira linha,
\tfrac{341}{33}\,x_{3} = \tfrac{341}{33} \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = 1.
Da segunda linha,
\tfrac{99}{10}\,x_{2} + \tfrac{11}{10}\,x_{3} = 11 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{99}{10}\,x_{2} = 11 - \tfrac{11}{10} = \tfrac{99}{10} \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 1.
Da primeira linha,
10\,x_{1} + x_{2} - x_{3} = 10 \quad\Longrightarrow\quad 10\,x_{1} + 1 - 1 = 10 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = 1.

Resposta

x_{1} = 1,\quad x_{2} = 1,\quad x_{3} = 1.

Exercícios relacionados