Calcular o valor da integral
I=\int_{0}^{1} e^{x} d x
adotando h=0,125 pelas fórmulas dos
a) Trapézios
b) Simpson-
Comparar com o valor exato

Passo 1

O enunciado pede
I = \int_{0}^{1} e^{x}\,dx
usando passo h=0,125 pelas regras compostas dos trapézios e de Simpson, e depois comparar com o valor exato.
Para h=0,125 temos
n = \frac{1-0}{h} = \frac{1}{0,125} = 8
subintervalos. Note que n é par, o que permite usar Simpson composto.

Passo 2

Definimos os nós
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,8,
e calculamos
f(x_i) = e^{x_i}.
A seguir, a tabela com x_i e f(x_i) (valores aproximados):
\begin{array}{c|ccccccccc} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\hline x_i & 0 & 0,125 & 0,25 & 0,375 & 0,5 & 0,625 & 0,75 & 0,875 & 1 \\\ f(x_i) & 1 & 1,13315 & 1,28403 & 1,45494 & 1,64872 & 1,86825 & 2,11700 & 2,39888 & 2,71828 \end{array}

Passo 3

Regra composta dos trapézios:
I_{T} \approx \frac{h}{2}\Bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{7}f(x_i)+f(x_8)\Bigr].
Substituindo h=0,125 e os valores de f(x_i):
\sum_{i=1}^{7}f(x_i) = 1,13315 + 1,28403 + 1,45494 + 1,64872 + 1,86825 + 2,11700 + 2,39888 = 11,90497,
I_{T} = \frac{0,125}{2}\bigl[1 + 2\cdot 11,90497 + 2,71828\bigr] =0,0625\cdot 27,52822 \approx 1,72051.

Passo 4

Regra composta de Simpson:
I_{S} \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{7}f(x_i) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{6}f(x_i)+f(x_8)\Bigr].
Calculamos
\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{7}f(x_i) =1,13315+1,45494+1,86825+2,39888=6,85522,
\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{6}f(x_i) =1,28403+1,64872+2,11700=5,04975,
I_{S} = \frac{0,125}{3}\bigl[1 + 4\cdot6,85522 + 2\cdot5,04975 + 2,71828\bigr] =0,0416667\cdot41,23837 \approx 1,71827.

Passo 5

O valor exato é
\int_{0}^{1}e^x\,dx = \bigl[e^x\bigr]_{0}^{1} = e - 1 \approx 1,71828.
Comparando:
  • Trapézios: I_{T}\approx1,72051 (erro \approx2,23\times10^{-3}, sobrestima).
  • Simpson: I_{S}\approx1,71827 (erro \approx1,15\times10^{-5}, subestima).

Resposta

a) I_{T}\approx1,72051
b) I_{S}\approx1,71827
Valor exato: e-1\approx1,71828.

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