Resolva a questão abaixo com pivoteamento
Analise os sistemas lineares abaixo com relação ao número de soluções, usando o método da Eliminação de Gauss (trabalhe com três casas decimais):
a) \left\{\begin{aligned} 3 \mathrm{x}_{1}-2 \mathrm{x}_{2}+5 \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4} & =7 \\\\ -6 \mathrm{x}_{1}+4 \mathrm{x}_{2}-8 \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4} & =-9 \\\\ 9 \mathrm{x}_{1}-6 \mathrm{x}_{2}+19 \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{4} & =23 \\\\ 6 \mathrm{x}_{1}-4 \mathrm{x}_{2}-6 \mathrm{x}_{3}+15 \mathrm{x}_{4} & =11\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sistema
\begin{cases} 3x_{1}-2x_{2}+5x_{3}+x_{4}=7,\\\\ -6x_{1}+4x_{2}-8x_{3}+x_{4}=-9,\\\\ 9x_{1}-6x_{2}+19x_{3}+x_{4}=23,\\\\ 6x_{1}-4x_{2}-6x_{3}+15x_{4}=11, \end{cases}
usando Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e trabalhando com três casas decimais. Vamos montar a matriz aumentada e, coluna a coluna, escolher o pivô de maior valor absoluto, trocar linhas se necessário, eliminar abaixo do pivô e, ao final, determinar o número de soluções e, se houver infinitas, expressar a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, na coluna 1, identificamos o maior valor absoluto, que é |9| na terceira linha. Trocamos linha 1 com linha 3:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\\\ -6 & 4 & -8 & 1 & -9\\\\ 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\\\ 6 & -4 & -6 & 15 & 11 \end{array} \right]
Calculamos os multiplicadores
m_{21}=-\tfrac{6}{9}=-0,667,\quad m_{31}=\tfrac{3}{9}=0,333,\quad m_{41}=\tfrac{6}{9}=0,667
e eliminamos abaixo do pivô, obtendo (valores arredondados):
\left[ \begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\\\ 0 & 0 & 4,667 & 1,667 & 6,333\\\\ 0 & 0 & -1,333 & 0,667 & -0,667\\\\ 0 & 0 & -18,667 & 14,333 & -4,333 \end{array} \right]

Passo 3

A segunda coluna já está nula abaixo da primeira linha, então passamos à terceira coluna. Entre as linhas 2–4, o maior valor absoluto em coluna 3 é |-18,667| na linha 4. Trocamos linha 2 com linha 4 e, em seguida, eliminamos abaixo do novo pivô -18,667 usando
m_{32}=\frac{-1,333}{-18,667}=0,071,\quad m_{42}=\frac{4,667}{-18,667}=-0,250.
Após a eliminação, a matriz fica
\left[ \begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\\\ 0 & 0 & -18,667 & 14,333 & -4,333\\\\ 0 & 0 & 0 & -0,357 & -0,357\\\\ 0 & 0 & 0 & 5,250 & 5,250 \end{array} \right]

Passo 4

Restam as linhas 3–4 para a quarta coluna. O maior valor absoluto em coluna 4 é |5,250| na linha 4, então trocamos linha 3 com linha 4 e eliminamos abaixo do pivô 5,250 com
m_{43}=\frac{-0,357}{5,250}=-0,068.
Isso gera uma linha de zeros completa na linha 4, de modo que a forma triangular final é
\left[ \begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\\\ 0 & 0 & -18,667 & 14,333 & -4,333\\\\ 0 & 0 & 0 & 5,250 & 5,250\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

Passo 5

Como temos posto igual a 3 (< 4 incógnitas) e nenhuma equação contraditória, o sistema tem infinitas soluções. Fazemos retro‐substituição:
Da linha 3:
5,250\,x_{4}=5,250 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=1{,}000.
Da linha 2:
-18,667\,x_{3}+14,333\cdot1{,}000=-4,333 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=1{,}000.
Da linha 1:
9\,x_{1}-6\,x_{2}+19\cdot1{,}000+1\cdot1{,}000=23 \quad\Longrightarrow\quad 9\,x_{1}-6\,x_{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=0{,}333 +0{,}667\,x_{2}.
Como não há pivô na coluna 2, definimos x_{2}=s (parâmetro livre).

Resposta

O sistema tem infinitas soluções, dadas por
x_{1}=0{,}333 +0{,}667\,s,\quad x_{2}=s,\quad x_{3}=1{,}000,\quad x_{4}=1{,}000,
para todo s\in\mathbb{R}.

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