Resolva o sistema a seguir utilizando o método de Gauss-Jacobi, se possível. Considerando 3 casas decimais, arredondamento e precisão ou 5 iterações. Considere o vetor como sendo o vetor nulo.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver o sistema
2 & 2 & 5 4 & 1 & -1 -1 & 3 & 1 X = 15-4
pelo método de Gauss–Jacobi, até três casas decimais, critério de precisão ε=0,01 ou 5 iterações, começando de .
Conteúdo: método iterativo de Jacobi para sistemas lineares. Vamos precisar de
verificar se o método converge (diagonal dominante);
escrever a fórmula de iteração de Jacobi;
iterar até 5 vezes ou até a diferença ser menor que ε.
Passo 2
Primeiro, a teoria diz que Jacobi costuma convergir se a matriz for estritamente diagonal dominante, ou seja, em cada linha . Vamos checar:
Linha 1: vs → 2 < 7, não domina.
Linha 2: vs → 1 < 5, não domina.
Linha 3: vs → 1 < 4, não domina.
Ou seja, a matriz não é diagonal dominante, então não podemos garantir convergência do método de Jacobi.
Passo 3
Mesmo assim, se tentássemos, a fórmula de iteração de Jacobi é, para cada componente xi^(k+1) =1aiil(bi - sumjneq iaij,xj^(k)r) :
Você já vê que os valores explodem em vez de se estabilizar. Até a quinta iteração eles continuam “correndo” cada vez mais longe.
Resposta
O método de Gauss–Jacobi não converge para esse sistema, pois a matriz não é estritamente diagonal dominante e as iterações fogem (mesmo após 5 iterações não há stabilização dentro de ε=0,01).