Resolva o sistema usando o método de Decomposição LU:
l 2 x1-x2-7 x3=1 20 x1+3 x2+x3=4 5 x1+x2-x3=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
2x1-x2-7x3=1, 20x1+3x2+x3=4, 5x1+x2-x3=5
usando a decomposição LU, ou seja, escrever A=LU com
A= 2 & -1 & -7 20 & 3 & 1 5 & 1 & -1 , b=145,
e então resolver primeiro Ly=b (substituição direta) e depois Ux=y (retrossubstituição).

Passo 2

Fazemos a fatoração pelo método de Doolittle (pivot em a11=2):
l21=a21a11=202=10, l31=a31a11=52=2,5
Subtraímos 10 vezes a linha 1 de A para obter o pivô na segunda linha, e 2,5 vezes a linha 1 para a terceira:
linha2': (20,3,1)-10,(2,-1,-7)=(0,13,71),
linha3': (5,1,-1)-2,5,(2,-1,-7)=(0,3,5,16,5)
O próximo multiplicador é
l32=3,513=726
Então subtraímos tfrac726 vezes a linha 2' da linha 3' para zerar abaixo de u22. Ao final temos
L= 1 & 0 & 0 10 & 1 & 0 2,5 & tfrac726 & 1 , U= 2 & -1 & -7 0 & 13 & 71 0 & 0 & -tfrac3413

Passo 3

Resolvemos Ly=b por substituição direta:
y1=1, y2=4-10,y1=4-10cdot1=-6, y3=5-2,5,y1-tfrac726,y2 =5-2,5cdot1-tfrac726cdot(-6) =5-2,5+tfrac4226 =tfrac10726

Passo 4

Resolvemos Ux=y por retrossubstituição:
-tfrac3413,x3=tfrac10726Longrightarrow x3=-10726,1334=-10768,[6pt] 13,x2+71,x3=-6Longrightarrow x2=-6-71,(-tfrac10768)13 =55368,[6pt] 2,x1-x2-7,x3=1Longrightarrow x1=-1617 ]

Resposta

(x1,x2,x3)=l(-tfrac1617,;tfrac55368,;-tfrac10768r)

Exercícios relacionados