Resolva o sistema usando o método de Decomposição LU:
l 2 x2+x3=1 3 x1+4 x3=3 x1+x2=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
2x2+x3=1, 3x1+4x3=3, x1+x2=5
usando decomposição LU. Aqui vamos precisar de pivotamento para evitar o pivô zero em A11.

Passo 2

Reescrevemos em forma matricial A x = b com
A= 0 & 2 & 1 3 & 0 & 4 1 & 1 & 0 , b=135
Como A11=0, trocamos a linha 1 com a linha 2 (pivotamento parcial). Definindo
P= 0&1&0 1&0&0 0&0&1 ,
temos
PA = A' = 3 & 0 & 4 0 & 2 & 1 1 & 1 & 0 , Pb = b' = 315

Passo 3

Fatoramos A'=LU pelo método de Doolittle.
  1. Pivô u11=3.
  2. Multiplicadores
ell21=03=0, ell31=13
  1. Segunda linha de U:
u22=2-0cdot0=2, u23=1-0cdot4=1
  1. Multiplicador
ell32=1-tfrac13!cdot02=12
  1. Terceiro pivô
u33=0-tfrac13cdot4-tfrac12cdot1=-116
Logo
L= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 tfrac13 & tfrac12 & 1 , U= 3 & 0 & 4 0 & 2 & 1 0 & 0 & -tfrac116

Passo 4

Resolvemos Ly=b' por substituição direta:
;y1=3,
;y2=1-0cdot3=1,
y3=5-tfrac13cdot3-tfrac12cdot1=5-1-tfrac12=72

Passo 5

Resolvemos Ux=y por substituição regressiva:
u33,x3=-tfrac116x3=72 ;Longrightarrow; x3=7/2-11/6=-2111
Em seguida
2x2+1cdot x3=1 ;Longrightarrow; 2x2=1-(-tfrac2111)=3211 ;Longrightarrow; x2=1611
Finalmente
3x1+4x3=3 ;Longrightarrow; 3x1=3-4l(-tfrac2111r)=11711 ;Longrightarrow; x1=3911

Resposta

x1=3911, x2=1611, x3=-2111

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