Resolva o sistema usando o método de Decomposição LU:
l 2 x2+x3=1 3 x1+9 x3=3 x1+x2=5

Passo 1

Vamos reescrever o sistema na forma matricial
fica
Para aplicar a decomposição LU sem divisor zero, precisamos de , faremos uma permutação de linhas.

Passo 2

Definimos a matriz de permutação P que troca a primeira e a segunda linha:
P= 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Então
PA= 3 & 0 & 9 0 & 2 & 1 1 & 1 & 0 , Pb=315

Passo 3

Agora fatoramos PA=LU pelo método de Doolittle.
  1. Pivô em (1,1) é 3, logo
l21=03=0, l31=13
Aplicando as eliminações na coluna 1 obtemos na linha 3
(1,1,0)-tfrac13(3,0,9)=(0,1,-3)
  1. O novo pivô em (2,2) é 2, então
l32=12
Eliminando na coluna 2 da linha 3:
(0,1,-3)-tfrac12(0,2,1)=(0,0,-tfrac72)
Dessa forma
L= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 tfrac13 & tfrac12 & 1 , U= 3 & 0 & 9 0 & 2 & 1 0 & 0 & -tfrac72

Passo 4

Resolvemos L,y=Pb por substituição progressiva.
Da primeira linha:
y1=3
Da segunda:
y2=1
Da terceira:
y3=5-tfrac13,y1-tfrac12,y2 =5-1-tfrac12= tfrac72

Passo 5

Resolvemos U,x=y por substituição regressiva.
Da terceira linha:
-tfrac72,x3=tfrac72 Longrightarrow x3=-1
Da segunda:
2,x2+1cdot x3=1 Longrightarrow 2,x2-1=1 Longrightarrow x2=1
Da primeira:
3,x1+9,x3=3 Longrightarrow 3,x1-9=3 Longrightarrow x1=4

Resposta

(x1,x2,x3)=(4,,1,,-1).

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