Resolva o sistema usando o método de Decomposição LU:
l 9 x1-2 x2+3 x3+2 x4=54,5 2 x1+8 x2-2 x3+3 x4=-14 -3 x1+2 x2+11 x3-4 x4=12,5 -2 x1+3 x2+2 x3+10 x4=-21

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
9x1-2x2+3x3+2x4=54,5, 2x1+8x2-2x3+3x4=-14, -3x1+2x2+11x3-4x4=12,5, -2x1+3x2+2x3+10x4=-21
usando o método de decomposição LU (Doolittle), sem pivoteamento. Vamos decompor A=L,U, depois resolver L,y=b e U,x=y.

Passo 2

Começamos com Doolittle. A primeira linha de U é a primeira linha de A e a primeira coluna de L provém de
U11=9, U12=-2, U13=3, U14=2,
L21=29, L31=-39=-13, L41=-29

Passo 3

Subtraindo múltiplos da primeira linha para obter a segunda linha de U e a segunda coluna de L:
U22=8-29,(-2)=769, U23=-2-29,3=-83, U24=3-29,2=239,
L32=2-l(-tfrac13r)(-2)U22 =tfrac43tfrac769=319, L42=3-l(-tfrac29r)(-2)U22 =tfrac239tfrac769=2376

Passo 4

Agora a terceira linha de U e a terceira coluna de L:
U33 =11-l(-tfrac13r),3-319,l(-tfrac83r) =23619, U34 =-4-l(-tfrac13r),2-319,239 =-7119,
L43 =2-l(-tfrac29r),3-tfrac2376,(-tfrac83) U33 =33118

Passo 5

Finalmente o pivô U44:
U44 =10-l(-tfrac29r),2-2376,239 -33118l(-tfrac7119r) =480514484

Passo 6

Resolvemos L,y=b por substituição para frente. Escrevendo b=(tfrac1092,-14,tfrac252,-21):
y1=tfrac1092, y2=-14-29,tfrac1092=-2359,
y3=tfrac252-l(-tfrac13r),tfrac1092-319,l(-2359r) =66119,
y4=-21-l(-tfrac29r),tfrac1092-2376,l(-tfrac2359r) -33118,66119 =-480514484

Passo 7

Agora U,x=y por retro-substituição:
x4=y4U44=-1,
x3=y3-U34x4U33 =tfrac66119-l(-tfrac7119r)(-1)tfrac23619 =52,
x2=y2-U23x3-U24x4U22 =-tfrac2359-l(-tfrac83r)tfrac52-tfrac239(-1)tfrac769 =-2,
x1=y1-U12x2-U13x3-U14x4U11 =tfrac1092-(-2)(-2)-3cdottfrac52-2(-1)9 =5

Resposta

x1=5, x2=-2, x3=tfrac52, x4=-1.

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