Seja a matriz:
.=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 1 & -\mu \end{array}\right]
a. Qual procedimento permite encontrar fatores L U a partir da matriz \Psi ? Determine-os.
b. A partir do item a, obtenha a matriz inversa da matriz \Psi, utilizando fatores L U.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz \Psi (vou chamar de \Psi) e pede duas coisas:
  • (a) qual procedimento permite obter fatores L e U a partir da matriz \Psi e determinar esses fatores;
  • (b) usar os fatores L e U obtidos para calcular a inversa de \Psi.
Informações dadas:
\Psi=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & -\mu \end{array}\right].
O que é pedido explicitamente:
  • Obter L e U decompostos de \Psi (fatores triangular inferior e triangular superior).
  • A partir desses fatores, obter \Psi^{-1}.]

Passo 2

Comentário sobre o procedimento (explicação didática do porquê do método):
Uma forma padrão de fatorar uma matriz quadrada A é escrever A=LU, onde L é triangular inferior (normalmente com diagonal composta por 1s — fatoramento de Doolittle) e U é triangular superior. Esse fatoramento é obtido aplicando eliminação de Gauss sem permutar linhas: os multiplicadores usados durante a eliminação formam as entradas de L e as linhas resultantes formam U.
Condição importante: para aplicar a eliminação sem permutas é necessária a existência dos pivôs nos elementos diagonais successivos. Em particular, o primeiro pivô é a_{11}. Se a_{11}=0 não é possível iniciar a eliminação sem trocar linhas (ou sem admitir pivô zero). No caso de \Psi temos a_{11}=0. Logo a eliminação direta sem permuta falha. A técnica padrão é usar permutação de linhas (pivotamento parcial): procurar uma linha abaixo com entrada não nula na coluna 1 e permutar. Isso corresponde a escrever P\Psi = LU com P uma matriz de permutação (troca de linhas).
Portanto o procedimento a usar aqui é eliminação de Gauss com pivotamento por permuta de linhas (partial pivoting), ou seja, encontrar P, L, U tais que
P\Psi = LU.

Passo 3

Aplicando o pivotamento (escolha e cálculo de P):
Como a_{11}=0, trocamos a linha 1 com a linha 2. A matriz de permutação que troca linhas 1 e 2 é
P=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right].
Aplicando P a \Psi (peguei P trocando as duas linhas da matriz dada):
P\Psi=\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mu\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Fatoração P\Psi=LU por eliminação de Gauss (detalhe passo a passo):
Agora P\Psi tem primeiro pivô 1\neq0, então podemos aplicar Doolittle (usar L com diagonal de 1s). Para uma matriz 2\times2 escrevemos
L=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 \end{array}\right],\qquad U=\left[\begin{array}{cc} u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22} \end{array}\right].
Comparando com P\Psi e usando as fórmulas usuais da eliminação:
  • u_{11} é o primeiro pivô, aqui u_{11}=1.
  • u_{12} é o elemento (1,2) de P\Psi, logo u_{12}=-\mu.
  • \ell_{21}=\dfrac{(P\Psi)_{21}}{u_{11}}=\dfrac{0}{1}=0.
  • u_{22}=(P\Psi)_{22}-\ell_{21}u_{12}=1-0\cdot(-\mu)=1.
Portanto
L=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right]=I,\qquad U=\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mu\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right].
Verificação rápida: LU=U=P\Psi, e de fato P\Psi era \begin{pmatrix}1&-\mu\\\ 0&1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação do resultado do item (a):
Conclui-se que a fatoração direta \Psi=LU sem permuta não existe porque o primeiro elemento da matriz é zero; por isso se usou a permutação de linhas e obteve-se a fatoração com permutador:
P\Psi = LU,
com P,L,U dados no passo anterior. Em palavras simples: primeiro permutou-se as linhas para obter um pivô não nulo, depois aplicou-se a eliminação de Gauss normal.

Passo 6

Método para obter \Psi^{-1} usando P,L,U (explicação didática):
Para encontrar \Psi^{-1} é comum resolver, coluna a coluna, os sistemas \Psi x = e_k (onde e_k são as colunas da matriz identidade). Usando P\Psi=LU temos
LUx = P e_k.
Procedimento para cada k:
  1. resolver Ly = P e_k por substituição progressiva (forward substitution);
  2. resolver Ux = y por substituição regressiva (back substitution).
    Ao concatenar as soluções para k=1,2 obtemos \Psi^{-1}.
Também se pode usar a identidade algébrica (multiplicando pela inversa):
\Psi^{-1}=U^{-1}L^{-1}P,
que é equivalente ao procedimento por colunas e pode ser mais rápido quando L e U são simples.

Passo 7

Cálculo explícito de \Psi^{-1} usando U^{-1}L^{-1}P e também por resolução de sistemas (detalhado e verificável):
Como aqui L=I, tem-se L^{-1}=I. Calcula-se U^{-1}. Para
U=\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mu\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right],
a inversa de uma triangular superior 2\times2 com uns na diagonal é
U^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 1 & \mu\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right],
porque verificando U U^{-1}=I:
\left[\begin{array}{cc} 1 & -\mu\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & \mu\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right].
Agora \Psi^{-1}=U^{-1}L^{-1}P=U^{-1}P (porque L^{-1}=I). Calculamos
U^{-1}P= \left[\begin{array}{cc} 1 & \mu\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \mu & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right].
Verificação rápida por regra do adjunto para 2×2: para \Psi=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&-\mu\end{pmatrix} tem-se \det(\Psi)=0\cdot(-\mu)-1\cdot1=-1. Logo
\Psi^{-1}=\frac{1}{\det(\Psi)}\left[\begin{array}{cc} -\mu & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{array}\right] =-1\left[\begin{array}{cc} -\mu & -1\\[4pt] -1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \mu & 1\\[4pt] 1 & 0 \end{array}\right],
que coincide com o resultado obtido via LU.]

Resposta

P=\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{array}\right],\qquad L=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right],\qquad U=\left[\begin{array}{cc}1 & -\mu\\[4pt]0 & 1\end{array}\right]
\Psi^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mu & 1\\[4pt]1 & 0\end{array}\right]]

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