a. Qual procedimento permite encontrar fatores L U a partir da matriz \Psi ? Determine-os.
b. A partir do item a, obtenha a matriz inversa da matriz \Psi, utilizando fatores L U.
Passo 1
O enunciado fornece a matriz \Psi (vou chamar de \Psi) e pede duas coisas:
(a) qual procedimento permite obter fatores L e U a partir da matriz \Psi e determinar esses fatores;
(b) usar os fatores L e U obtidos para calcular a inversa de \Psi.
Obter L e U decompostos de \Psi (fatores triangular inferior e triangular superior).
A partir desses fatores, obter \Psi^{-1}.]
Passo 2
Comentário sobre o procedimento (explicação didática do porquê do método):
Uma forma padrão de fatorar uma matriz quadrada A é escrever A=LU, onde L é triangular inferior (normalmente com diagonal composta por 1s — fatoramento de Doolittle) e U é triangular superior. Esse fatoramento é obtido aplicando eliminação de Gauss sem permutar linhas: os multiplicadores usados durante a eliminação formam as entradas de L e as linhas resultantes formam U.
Condição importante: para aplicar a eliminação sem permutas é necessária a existência dos pivôs nos elementos diagonais successivos. Em particular, o primeiro pivô é a_{11}. Se a_{11}=0 não é possível iniciar a eliminação sem trocar linhas (ou sem admitir pivô zero). No caso de \Psi temos a_{11}=0. Logo a eliminação direta sem permuta falha. A técnica padrão é usar permutação de linhas (pivotamento parcial): procurar uma linha abaixo com entrada não nula na coluna 1 e permutar. Isso corresponde a escrever P\Psi = LU com P uma matriz de permutação (troca de linhas).
Portanto o procedimento a usar aqui é eliminação de Gauss com pivotamento por permuta de linhas (partial pivoting), ou seja, encontrar P, L, U tais que
P\Psi = LU.
Passo 3
Aplicando o pivotamento (escolha e cálculo de P):
Como a_{11}=0, trocamos a linha 1 com a linha 2. A matriz de permutação que troca linhas 1 e 2 é
Fatoração P\Psi=LU por eliminação de Gauss (detalhe passo a passo):
Agora P\Psi tem primeiro pivô 1\neq0, então podemos aplicar Doolittle (usar L com diagonal de 1s). Para uma matriz 2\times2 escrevemos
Verificação rápida: LU=U=P\Psi, e de fato P\Psi era \begin{pmatrix}1&-\mu\\\ 0&1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Interpretação do resultado do item (a):
Conclui-se que a fatoração direta \Psi=LU sem permuta não existe porque o primeiro elemento da matriz é zero; por isso se usou a permutação de linhas e obteve-se a fatoração com permutador:
P\Psi = LU,
com P,L,U dados no passo anterior. Em palavras simples: primeiro permutou-se as linhas para obter um pivô não nulo, depois aplicou-se a eliminação de Gauss normal.
Passo 6
Método para obter \Psi^{-1} usando P,L,U (explicação didática):
Para encontrar \Psi^{-1} é comum resolver, coluna a coluna, os sistemas \Psi x = e_k (onde e_k são as colunas da matriz identidade). Usando P\Psi=LU temos
LUx = P e_k.
Procedimento para cada k:
resolver Ly = P e_k por substituição progressiva (forward substitution);
resolver Ux = y por substituição regressiva (back substitution).
Ao concatenar as soluções para k=1,2 obtemos \Psi^{-1}.
Também se pode usar a identidade algébrica (multiplicando pela inversa):
\Psi^{-1}=U^{-1}L^{-1}P,
que é equivalente ao procedimento por colunas e pode ser mais rápido quando L e U são simples.
Passo 7
Cálculo explícito de \Psi^{-1} usando U^{-1}L^{-1}P e também por resolução de sistemas (detalhado e verificável):
Como aqui L=I, tem-se L^{-1}=I. Calcula-se U^{-1}. Para