Escolha do método e explicação do que vamos fazer (aula curta).
Método escolhido: fatoração do tipo Doolittle (método direto de eliminação gaussiana sem permutações). Aqui usamos L com uns na diagonal principal e U com a forma triangular superior.
Ideia básica: realizar eliminação (como na eliminação de Gauss) para zerar abaixo dos pivôs, guardando os multiplicadores usados em L. Esses multiplicadores são as entradas de L abaixo da diagonal. Em fórmulas:
Se estiver eliminando na etapa k (pivô u_{kk}), para cada linha i>k o multiplicador é
l_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{u_{kk}},onde a_{ik}^{(k)} é o elemento da matriz atual na linha i, coluna k antes da eliminação nessa etapa. Depois atualiza-se a linha i coma_{i j}^{(k+1)} = a_{i j}^{(k)} - l_{ik}\,u_{k j}para todas as colunas j\ge k. No final, as entradas u_{k j} formam a linha k de U e os l_{ik} formam a coluna k de L; a diagonal de L é composta por 1.
Vantagem: dá para fazer tudo com conta simples de divisão e subtração; é exatamente a eliminação de Gauss registrada em L.
Passo 3
Primeira etapa (usar o primeiro pivô u_{11}).
O primeiro pivô é u_{11}=2 (igual ao elemento a_{11} de A). Então a primeira linha de U será a primeira linha de A:
u_{11}=2,\qquad u_{12}=0,5,\qquad u_{13}=-1,5.
Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo de u_{11}:
Verificação rápida (opcional, só para confirmar mentalmente): multiplicar L por U devolve A. Por exemplo, a primeira coluna de L U é 1 vezes a primeira coluna de U mais 0,25 vezes a primeira coluna de U deslocada etc.; feito corretamente, obtém-se exatamente os elementos de A (as contas já foram compatíveis durante a eliminação).