Encontre a decomposição L U da matriz A :
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0,5 & -1,5 \\\\ 0,5 & 3,125 & 5,625 \\\\ -1,5 & 5,625 & 17,125 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: encontrar a decomposição L U da matriz A; ou seja, encontrar matrizes L (triangular inferior) e U (triangular superior) tais que A = L U.
  • Dados: a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0,5 & -1,5 \\\\ 0,5 & 3,125 & 5,625 \\\\ -1,5 & 5,625 & 17,125 \end{array}\right].

Passo 2

Escolha do método e explicação do que vamos fazer (aula curta).
  • Método escolhido: fatoração do tipo Doolittle (método direto de eliminação gaussiana sem permutações). Aqui usamos L com uns na diagonal principal e U com a forma triangular superior.
  • Ideia básica: realizar eliminação (como na eliminação de Gauss) para zerar abaixo dos pivôs, guardando os multiplicadores usados em L. Esses multiplicadores são as entradas de L abaixo da diagonal. Em fórmulas:
    • Se estiver eliminando na etapa k (pivô u_{kk}), para cada linha i>k o multiplicador é
    l_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{u_{kk}},onde a_{ik}^{(k)} é o elemento da matriz atual na linha i, coluna k antes da eliminação nessa etapa. Depois atualiza-se a linha i com a_{i j}^{(k+1)} = a_{i j}^{(k)} - l_{ik}\,u_{k j}para todas as colunas j\ge k. No final, as entradas u_{k j} formam a linha k de U e os l_{ik} formam a coluna k de L; a diagonal de L é composta por 1.
  • Vantagem: dá para fazer tudo com conta simples de divisão e subtração; é exatamente a eliminação de Gauss registrada em L.

Passo 3

Primeira etapa (usar o primeiro pivô u_{11}).
  • O primeiro pivô é u_{11}=2 (igual ao elemento a_{11} de A). Então a primeira linha de U será a primeira linha de A:
u_{11}=2,\qquad u_{12}=0,5,\qquad u_{13}=-1,5.
  • Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo de u_{11}:
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{0,5}{2}=0,25,
l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{-1,5}{2}=-0,75.
  • Guardamos esses valores na primeira coluna de L (abaixo da diagonal).

Passo 4

Atualizar as linhas 2 e 3 usando os multiplicadores (subtração de múltiplos da linha 1).
  • Para a linha 2: fazemos \text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - l_{21}\cdot \text{linha}_1.
    • Cálculo elemento a elemento: a_{22}^{(2)}=3,125 - 0,25\cdot 0,5 = 3,125 - 0,125 = 3,0,
a_{23}^{(2)}=5,625 - 0,25\cdot(-1,5) = 5,625 + 0,375 = 6,0.
  • Após a eliminação, a segunda linha (parte útil) fica [0,\;3,0,\;6,0].
  • Para a linha 3: fazemos \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - l_{31}\cdot \text{linha}_1.
    • Cálculo elemento a elemento: a_{31}^{(2)}=-1,5 - (-0,75)\cdot 2 = -1,5 + 1,5 = 0,
a_{32}^{(2)}=5,625 - (-0,75)\cdot 0,5 = 5,625 + 0,375 = 6,0,
a_{33}^{(2)}=17,125 - (-0,75)\cdot(-1,5) = 17,125 - 1,125 = 16,0.
  • Após a eliminação, a terceira linha (parte útil) fica [0,\;6,0,\;16,0].

Passo 5

Segunda etapa (usar o segundo pivô u_{22}).
  • O segundo pivô é agora u_{22}=3,0 (resultado da atualização). A segunda linha de U será [0,\;3,0,\;6,0], isto é:
u_{22}=3,0,\qquad u_{23}=6,0.
  • Calculamos o multiplicador para eliminar abaixo do pivô u_{22}:
l_{32}=\frac{a_{32}^{(2)}}{u_{22}}=\frac{6,0}{3,0}=2,0.
  • Guardamos l_{32}=2,0 na posição (3,2) de L.

Passo 6

Atualizar a linha 3 usando o multiplicador l_{32}.
  • Fazemos \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - l_{32}\cdot \text{linha}_2.
    • Cálculo do único elemento restante relevante: a_{33}^{(3)}=16,0 - 2,0\cdot 6,0 = 16,0 - 12,0 = 4,0.
  • Assim o último pivô (diagonal de U) é u_{33}=4,0.

Passo 7

Construção final das matrizes L e U e verificação rápida.
  • Montando L: diagonal com uns, e as entradas abaixo da diagonal são os multiplicadores calculados:
L=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0,25 & 1 & 0 \\\\ -0,75 & 2,0 & 1 \end{array}\right].
  • Montando U: linhas formadas pelos pivôs e entradas atualizadas:
U=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0,5 & -1,5 \\\\ 0 & 3,0 & 6,0 \\\\ 0 & 0 & 4,0 \end{array}\right].
  • Verificação rápida (opcional, só para confirmar mentalmente): multiplicar L por U devolve A. Por exemplo, a primeira coluna de L U é 1 vezes a primeira coluna de U mais 0,25 vezes a primeira coluna de U deslocada etc.; feito corretamente, obtém-se exatamente os elementos de A (as contas já foram compatíveis durante a eliminação).

Resposta

L=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0,25 & 1 & 0 \\\\ -0,75 & 2,0 & 1 \end{array}\right], \qquad U=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0,5 & -1,5 \\\\ 0 & 3,0 & 6,0 \\\\ 0 & 0 & 4,0 \end{array}\right]

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