Resolva os sistemas abaixo pelo método de Eliminação de Gauss, com pivotação parcial.
x1+2 x2+4 x3 & =13 -3 x1-x2+4 x3 & =8 2 x1+14 x2+5 x3 & =50

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos: um sistema de 3 equações com 3 incógnitas
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente Eliminação de Gauss com pivotação parcial.
O que precisamos:
  1. Entender pivotação parcial (escolher sempre o maior coeficiente em valor absoluto como pivô para evitar erros numéricos).
  2. Fazer operações elementares de linha (troca de linha, combinação linear) para triangular a matriz.
  3. Fazer retro‐substituição no final.

Passo 2

Primeira coluna: vamos escolher como pivô o maior valor em módulo entre as linhas 1, 2 e 3.
Os coeficientes da coluna 1 são 1,;-3,;2, cujos módulos são 1,;3,;2. O maior é 3, que está na linha 2.
Então trocamos a linha 1 com a linha 2. Nosso sistema vira:
-3x1 - x2 + 4x3 = 8, ;1x1 + 2x2 + 4x3 = 13, ;2x1 +14x2 + 5x3 = 50
Agora eliminamos x1 das linhas 2 e 3:
Para a linha 2: o multiplicador é m21 = 1-3 = -tfrac13.
Linha2 := Linha2 - m21,times Linha1 = Linha2 + tfrac13,Linha1.
Fazendo as contas chegamos a
Linha 2;: 0,x1 + tfrac53x2 + tfrac163x3 = tfrac473
Para a linha 3: m31 = 2-3 = -tfrac23.
Linha3 := Linha3 - m31,Linha1 = Linha3 + tfrac23,Linha1,
ficando
Linha 3;: 0,x1 + tfrac403x2 + tfrac233x3 = tfrac1663
Então o sistema triangularizado até agora é
-3x1 - x2 + 4x3 = 8, 0 + tfrac53x2 + tfrac163x3 = tfrac473, 0 + tfrac403x2 + tfrac233x3 = tfrac1663

Passo 3

Segunda coluna: entre as linhas 2 e 3, os coeficientes em módulo são l|tfrac53r|approx1,67 e l|tfrac403r|approx13,33. O maior é tfrac403 (linha 3), então trocamos linha 2 com linha 3.
Ficamos com
-3x1 - x2 + 4x3 = 8, 0 + tfrac403x2 + tfrac233x3 = tfrac1663, 0 + tfrac53x2 + tfrac163x3 = tfrac473
Agora eliminamos x2 da linha 3:
O multiplicador é
m32 ;=;tfrac53tfrac403 ;=;540 ;=;tfrac18
Linha3 := Linha3 - m32,Linha2.
Fazendo as contas, a linha 3 vira
0,x1 + 0,x2 + 358x3 = 354
Agora o sistema está totalmente triangular:
-3x1 - x2 + 4x3 = 8, ;; tfrac403x2 + tfrac233x3 = tfrac1663, ;; 0,x2 + tfrac358x3 = tfrac354

Passo 4

Retro‐substituição:
  1. Da terceira equação, tfrac358,x3 = tfrac354 ;Longrightarrow; x3 = 2
  2. Na segunda, tfrac403x2 + tfrac233cdot2 = tfrac1663 ;Longrightarrow; 40x2 + 46 = 166 ;Longrightarrow; x2 = 3
  3. Na primeira, -3x1 - x2 + 4x3 = 8 ;Longrightarrow; -3x1 - 3 + 8 = 8 ;Longrightarrow; -3x1 = 3 ;Longrightarrow; x1 = -1

Resposta

(x1,,x2,,x3) = (-1,;3,;2)

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