Seja A=[rrc5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10].
Decompor A em L.U.

Passo 1

Beleza, o exercício diz: temos a matriz
A= 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10
e queremos decompor em uij = aij - sumk=1^i-1 lik,ukj, lij = 1ujjl(aij - sumk=1^j-1 lik,ukjr) , onde é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior. Isso faz parte de “fatoração LU” ou “eliminação de Gauss sem pivô” e a gente vai usar o método de Doolittle (que já coloca 1’s na diagonal de ).
O que a gente vai precisar:
  • Montar com 1’s na diagonal e variáveis nos outros lugares.
  • Montar com variáveis na parte triangular superior.
  • Usar as fórmulas

Passo 2

Primeiro, a gente define:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Começando por l21 = a21u11 = -15 = -tfrac15, l31 = a31u11 = 25 = tfrac25 :
u₁₁ = a₁₁ = 5,
u₁₂ = a₁₂ = 2,
u₁₃ = a₁₃ = 1.
E na coluna 1 de :

Passo 3

Agora u22 = a22 - l21,u12 = 4 - l(-tfrac15r)cdot2 = 4 + tfrac25 = tfrac225, . Primeiro calculamos
u23 = a23 - l21,u13 = 2 - l(-tfrac15r)cdot1 = 2 + tfrac15 = tfrac115
l32 = 1u22l(a32 - l31,u12r) = 1tfrac225l(-3 - tfrac25cdot2r) = 1tfrac225l(-3 - tfrac45r) = -1922
Em seguida a :

Passo 4

Por fim u33 = a33 - l31,u13 - l32,u23 = 10 - tfrac25cdot1 - l(-tfrac1922r)cdot tfrac115 , sobra só u33 = 1100110 - 44110 + 209110 = 1265110 = 25322 :
Vamos calcular fração por fração:
10 = ,
,
.
Logo

Resposta

Portanto, a fatoração L = 1 & 0 & 0[6pt] -tfrac15 & 1 & 0[6pt] tfrac25 & -tfrac1922 & 1 , U = 5 & 2 & 1[4pt] 0 & tfrac225 & tfrac115[4pt] 0 & 0 & tfrac25322 é

Exercícios relacionados