Resolva os sistemas abaixo pelo método de Eliminação de Gauss, sem pivotação.
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas
O assunto aqui é o método de Eliminação de Gauss (sem trocar linhas, ou seja, sem pivotação). Vamos precisar de:
- montar a matriz aumentada do sistema,
- usar operações elementares (somar linhas, multiplicar linha por escalar) para criar zeros abaixo dos pivôs,
- por fim, fazer a substituição pra encontrar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, montamos a matriz aumentada
A|b :
Cada linha corresponde a uma equação, e cada coluna às variáveis
, com a última coluna sendo os termos constantes.
Passo 3
Queremos zerar os coeficientes da coluna 1 (que estão nas linhas 2 e 3) usando a linha 1 como pivô.
– Para zerar [ccc|c -2 & 3 & 1 & -5 0 & 4 & -3 & -14 0 & 16 & -4 & -8 ] em
: fazemos L2 ← L2 + L1, porque
.
– Para zerar em
: fazemos L3 ← L3 + 2·L1, pois
.
Aplicando:
L2 = [2, 1, −4 | −9] + [−2, 3, 1 | −5] = [0, 4, −3 | −14],
L3 = [4,10,−6|2] + 2·[−2,3,1|−5] = [0,16,−4|−8].
Agora a matriz é
– Para zerar
– Para zerar
Aplicando:
L2 = [2, 1, −4 | −9] + [−2, 3, 1 | −5] = [0, 4, −3 | −14],
L3 = [4,10,−6|2] + 2·[−2,3,1|−5] = [0,16,−4|−8].
Agora a matriz é
Passo 4
Próximo pivô é o
[ccc|c -2 & 3 & 1 & -5 0 & 4 & -3 & -14 0 & 0 & 8 & 48 ] em
. Vamos zerar o
de
com: L3 ← L3 − 4·L2, pois
.
Fazendo as contas:
L3 = [0,16,−4|−8] − 4·[0,4,−3|−14]
\quad = [0, 16, −4 | −8] − [0,16,−12|−56]
\quad = [0, 0, 8 | 48].
A matriz fica
Fazendo as contas:
L3 = [0,16,−4|−8] − 4·[0,4,−3|−14]
\quad = [0, 16, −4 | −8] − [0,16,−12|−56]
\quad = [0, 0, 8 | 48].
A matriz fica
Agora temos um sistema triangular superior.
Passo 5
É hora da substituição:
- Da terceira linha:
⇒ . - Da segunda linha:
. Substituindo :
⇒ ⇒ ⇒ . - Da primeira linha:
. Substituindo e :
⇒ ⇒ ⇒ .