Resolva os sistemas abaixo pelo método de Eliminação de Gauss, sem pivotação.
r-2 x1+3 x2+x3=-5 2 x1+x2-4 x3=-9 4 x1+10 x2-6 x3=2

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: a gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas
-2x1+3x2+x3=-5, 2x1+x2-4x3=-9, 4x1+10x2-6x3=2
O assunto aqui é o método de Eliminação de Gauss (sem trocar linhas, ou seja, sem pivotação). Vamos precisar de:
  1. montar a matriz aumentada do sistema,
  2. usar operações elementares (somar linhas, multiplicar linha por escalar) para criar zeros abaixo dos pivôs,
  3. por fim, fazer a substituição pra encontrar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada A|b:
[ccc|c -2 & 3 & 1 & -5 2 & 1 & -4 & -9 4 & 10 & -6 & 2 ]
Cada linha corresponde a uma equação, e cada coluna às variáveis , com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Queremos zerar os coeficientes da coluna 1 (que estão nas linhas 2 e 3) usando a linha 1 como pivô.
– Para zerar [ccc|c -2 & 3 & 1 & -5 0 & 4 & -3 & -14 0 & 16 & -4 & -8 ] em : fazemos L2 ← L2 + L1, porque .
– Para zerar em : fazemos L3 ← L3 + 2·L1, pois .
Aplicando:
L2 = [2, 1, −4 | −9] + [−2, 3, 1 | −5] = [0, 4, −3 | −14],
L3 = [4,10,−6|2] + 2·[−2,3,1|−5] = [0,16,−4|−8].
Agora a matriz é

Passo 4

Próximo pivô é o [ccc|c -2 & 3 & 1 & -5 0 & 4 & -3 & -14 0 & 0 & 8 & 48 ] em . Vamos zerar o de com: L3 ← L3 − 4·L2, pois .
Fazendo as contas:
L3 = [0,16,−4|−8] − 4·[0,4,−3|−14]
\quad = [0, 16, −4 | −8] − [0,16,−12|−56]
\quad = [0, 0, 8 | 48].
A matriz fica
Agora temos um sistema triangular superior.

Passo 5

É hora da substituição:
  1. Da terceira linha: .
  2. Da segunda linha: . Substituindo :
    .
  3. Da primeira linha: . Substituindo e :
    .

Resposta

.

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