Resolva o sistema abaixo pelo método de Eliminação de Gauss:
[cccc 1 & 6 & 2 & 4 3 & 19 & 4 & 15 1 & 4 & 8 & -12 5 & 33 & 9 & 3 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[c 8 25 18 72 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de 4 equações e 4 incógnitas usando o método da Eliminação de Gauss (aquele esquema de usar operações nas linhas da matriz aumentada para zerar abaixo do pivô).
Conteúdo: Álgebra Linear – sistema linear e operações elementares em linhas.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz aumentada do sistema.
  • Fazer operações do tipo “linha_i ← linha_i − multiplicador·linha_pivô” para eliminar os coeficientes abaixo de cada pivô.
  • No final, a gente faz a “substituição regressiva” (back-substitution) para encontrar as variáveis.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [cccc|c 1 & 6 & 2 & 4 & 8 3 & 19 & 4 & 15 & 25 1 & 4 & 8 & -12 & 18 5 & 33 & 9 & 3 & 72 ] :
[cccc|c 1 & 6 & 2 & 4 & 8 0 & 1 & -2 & 3 & 1 0 & -2 & 6 & -16 & 10 0 & 3 & -1 & -17 & 32 ]
Pivô 1 (linha 1) já é 1. Agora zeramos abaixo dele:
Fica:

Passo 3

Agora o pivô 2 é o [cccc|c 1 & 6 & 2 & 4 & 8 0 & 1 & -2 & 3 & 1 0 & 0 & 2 & -10 & 12 0 & 0 & 5 & -26 & 29 ] que está em . A gente zera em e :
Resultado:

Passo 4

Pivô 3 é o [cccc|c 1 & 6 & 2 & 4 & 8 0 & 1 & -2 & 3 & 1 0 & 0 & 2 & -10 & 12 0 & 0 & 0 & -1 & -1 ] em . Eliminamos em :
Dá:

Passo 5

Agora é só back-substitution:
  1. Da última linha:
-1cdot x4 = -1 Longrightarrow x4 = 1
  1. Da linha 3:
2,x3 -10,x4 = 12 Longrightarrow 2,x3 -10 = 12 ;Longrightarrow; x3 = 11
  1. Da linha 2:
x2 -2,x3 +3,x4 = 1 Longrightarrow x2 -2cdot11 +3cdot1 = 1 ;Longrightarrow; x2 = 20
  1. Da linha 1:
x1 +6,x2 +2,x3 +4,x4 = 8 Longrightarrow x1 +6cdot20 +2cdot11 +4cdot1 = 8 ;Longrightarrow; x1 = -138

Resposta

(x1,,x2,,x3,,x4) = (-138,;20,;11,;1)

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