Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jacobi. Faça duas iterações em cada sistema e calcule o erro da aproximação.
\left\{\begin{array}{c} 10 x_{1}+5 x_{2}=6 \\\\ 5 x_{1}+10 x_{2}-4 x_{3}=25 \\\\ -4 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=-11 \\\\ -x_{3}+5 x_{4}=-11 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema linear e pede para resolver pelo método de Gauss–Jacobi, fazendo duas iterações e calculando o erro da aproximação:
\left\{\begin{array}{r} 10 x_{1}+5 x_{2}=6,\\[4pt] 5 x_{1}+10 x_{2}-4 x_{3}=25,\\[4pt] -4 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=-11,\\[4pt] -x_{3}+5 x_{4}=-11. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • As equações acima (coeficientes e termos independentes).
  • É pedido: (i) aplicar Gauss–Jacobi por duas iterações (duas atualizações completas dos 4 componentes); (ii) calcular o erro da aproximação obtida (ver definição do erro que será usada nos passos seguintes).]

Passo 2

Breve explicação do método e condição de convergência (didática e útil para a prova).
  • Ideia do método de Gauss–Jacobi: para um sistema A x=b, isola-se cada incógnita x_i na sua equação (dividindo pelo coeficiente diagonal a_{ii}) e obtém-se uma fórmula do tipo
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j\Big).
No Jacobi, todas as componentes x_i^{(k+1)} da nova iteração usam apenas valores antigos x_j^{(k)} (ou seja, a atualização é paralela).
  • Forma matricial (útil para compreensão):
x^{(k+1)} = D^{-1}\big(b-(L+U)x^{(k)}\big),
onde D é a matriz diagonal de A e L+U contém os outros elementos.
  • Condição prática de convergência que costuma ser usada na prova: se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), então Jacobi converge. Vamos checar a dominância no sistema dado:
    • Linha 1: |a_{11}|=10 e soma dos outros |5|=5. Como 10>5, é estritamente dominante.
    • Linha 2: |a_{22}|=10 e soma |5|+|{-4}|=9. Como 10>9, dominante.
    • Linha 3: |a_{33}|=8 e soma |{-4}|+|{-1}|=5. Como 8>5, dominante.
    • Linha 4: |a_{44}|=5 e soma |{-1}|=1. Como 5>1, dominante.
      Portanto o sistema é estritamente diagonalmente dominante e o método de Jacobi converge.

Passo 3

Isolar cada incógnita nas equações para obter as fórmulas de iteração (passo fundamental para aplicar Jacobi).
Da primeira equação:
10 x_{1}+5 x_{2}=6 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{6-5x_{2}}{10}=\;0,6-0,5\,x_{2}.
Da segunda equação:
5 x_{1}+10 x_{2}-4 x_{3}=25 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{25-5x_{1}+4x_{3}}{10}=2,5-0,5\,x_{1}+0,4\,x_{3}.
Da terceira equação:
-4 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=-11 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{-11+4x_{2}+x_{4}}{8}=-\tfrac{11}{8}+0,5\,x_{2}+0,125\,x_{4},
onde -\tfrac{11}{8}=-1,375.
Da quarta equação:
-x_{3}+5 x_{4}=-11 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=\frac{-11+x_{3}}{5}=-2,2+0,2\,x_{3}.

Passo 4

Escolha da iteração inicial e regra prática para as duas iterações pedidas.
  • Como o enunciado não fornece um chute inicial, adotamos o chute padrão \displaystyle x^{(0)}=(0,0,0,0)^{T}\). Isso é comum e facilita contas manuais. - Regra de atualização (Jacobi): para cada iteração \(k\to k+1\), calcular simultaneamente \[\begin{cases} x_{1}^{(k+1)}=0,6-0,5\,x_{2}^{(k)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)}=2,5-0,5\,x_{1}^{(k)}+0,4\,x_{3}^{(k)},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)}=-1,375+0,5\,x_{2}^{(k)}+0,125\,x_{4}^{(k)},\\[4pt] x_{4}^{(k+1)}=-2,2+0,2\,x_{3}^{(k)}. \end{cases}
Vou aplicar essa fórmula duas vezes, com k=0\] e \(k=1.]

Passo 5

Primeira iteração: calcular x^{(1)} a partir de x^{(0)}=(0,0,0,0).
Usando as fórmulas e substituindo os valores de x^{(0)}:
x_{1}^{(1)}=0,6-0,5\cdot 0=0,6.
x_{2}^{(1)}=2,5-0,5\cdot 0+0,4\cdot 0=2,5.
x_{3}^{(1)}=-1,375+0,5\cdot 0+0,125\cdot 0=-1,375.
x_{4}^{(1)}=-2,2+0,2\cdot(-1,375)=-2,2-0,275=-2,475.
Logo
x^{(1)}=\bigl(0,6,\;2,5,\;-1,375,\;-2,475\bigr)^{T}.

Passo 6

Segunda iteração: calcular x^{(2)} usando x^{(1)} (cada componente usa os valores antigos x^{(1)}).
Calcular cada componente:
x_{1}^{(2)}=0,6-0,5\cdot x_{2}^{(1)}=0,6-0,5\cdot 2,5=0,6-1,25=-0,65.
x_{2}^{(2)}=2,5-0,5\cdot x_{1}^{(1)}+0,4\cdot x_{3}^{(1)}=2,5-0,5\cdot 0,6+0,4\cdot(-1,375).
Detalhando os termos: -0,5\cdot 0,6=-0,3 e 0,4\cdot(-1,375)=-0,55. Então
x_{2}^{(2)}=2,5-0,3-0,55=1,65.
x_{3}^{(2)}=-1,375+0,5\cdot x_{2}^{(1)}+0,125\cdot x_{4}^{(1)}=-1,375+0,5\cdot 2,5+0,125\cdot(-2,475).
Calcule os termos: 0,5\cdot 2,5=1,25 e 0,125\cdot(-2,475)=-0,309375. Então
x_{3}^{(2)}=-1,375+1,25-0,309375=-0,434375.
x_{4}^{(2)}=-2,2+0,2\cdot x_{3}^{(1)}=-2,2+0,2\cdot(-1,375)=-2,2-0,275=-2,475.
Observação: x_{4}^{(2)} ficou igual a x_{4}^{(1)} porque depende só de x_{3}^{(1)} e esse valor não mudou entre as fórmulas usadas.
Portanto
x^{(2)}=\bigl(-0,65,\;1,65,\;-0,434375,\;-2,475\bigr)^{T}.

Passo 7

Cálculo do erro da aproximação (definição e cálculo numérico).
  • Definição prática usada: erro em iteração k medido pelo máximo das diferenças absolutas entre iterações consecutivas (norma infinito):
\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}|.
Isso é uma medida padrão para avaliar convergência iterativa quando a solução exata não é conhecida.
  • Calcular as diferenças entre x^{(2)} e x^{(1)}:
\begin{aligned} |x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}|&=|-0,65-0,6|=1,25,\\[4pt] |x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}|&=|1,65-2,5|=0,85,\\[4pt] |x_{3}^{(2)}-x_{3}^{(1)}|&=|-0,434375-(-1,375)|=0,940625,\\[4pt] |x_{4}^{(2)}-x_{4}^{(1)}|&=|-2,475-(-2,475)|=0. \end{aligned}
  • O erro (norma infinito) é o máximo desses valores:
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=1,25.]

Passo 8

Comentário final e encorajamento.
  • Fizemos duas iterações completas de Gauss–Jacobi a partir do chute x^{(0)}=(0,0,0,0)^{T} e calculamos o erro em norma infinito entre a segunda e a primeira iteração.
  • Como a matriz é estritamente diagonalmente dominante, o método converge; porém para obter precisão razoável será necessário continuar iterando até que a norma das diferenças fique abaixo da tolerância desejada (por exemplo 10^{-3} ou 10^{-4}, dependendo da prova).
  • Força aí — o procedimento é sempre o mesmo: isolar, aplicar fórmula, atualizar todas as componentes em paralelo e checar o erro.

Resposta

x^{(1)}=\bigl(0,6,\;2,5,\;-1,375,\;-2,475\bigr)^{T}
x^{(2)}=\bigl(-0,65,\;1,65,\;-0,434375,\;-2,475\bigr)^{T}
Erro (norma infinito) \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=1,25

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