O enunciado fornece o seguinte sistema linear e pede para resolver pelo método de Gauss–Jacobi, fazendo duas iterações e calculando o erro da aproximação:
As equações acima (coeficientes e termos independentes).
É pedido: (i) aplicar Gauss–Jacobi por duas iterações (duas atualizações completas dos 4 componentes); (ii) calcular o erro da aproximação obtida (ver definição do erro que será usada nos passos seguintes).]
Passo 2
Breve explicação do método e condição de convergência (didática e útil para a prova).
Ideia do método de Gauss–Jacobi: para um sistema A x=b, isola-se cada incógnita x_i na sua equação (dividindo pelo coeficiente diagonal a_{ii}) e obtém-se uma fórmula do tipo
No Jacobi, todas as componentes x_i^{(k+1)} da nova iteração usam apenas valores antigos x_j^{(k)} (ou seja, a atualização é paralela).
Forma matricial (útil para compreensão):
x^{(k+1)} = D^{-1}\big(b-(L+U)x^{(k)}\big),
onde D é a matriz diagonal de A e L+U contém os outros elementos.
Condição prática de convergência que costuma ser usada na prova: se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), então Jacobi converge. Vamos checar a dominância no sistema dado:
Linha 1: |a_{11}|=10 e soma dos outros |5|=5. Como 10>5, é estritamente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=10 e soma |5|+|{-4}|=9. Como 10>9, dominante.
Linha 3: |a_{33}|=8 e soma |{-4}|+|{-1}|=5. Como 8>5, dominante.
Linha 4: |a_{44}|=5 e soma |{-1}|=1. Como 5>1, dominante.
Portanto o sistema é estritamente diagonalmente dominante e o método de Jacobi converge.
Passo 3
Isolar cada incógnita nas equações para obter as fórmulas de iteração (passo fundamental para aplicar Jacobi).
Da primeira equação:
Escolha da iteração inicial e regra prática para as duas iterações pedidas.
Como o enunciado não fornece um chute inicial, adotamos o chute padrão \displaystyle x^{(0)}=(0,0,0,0)^{T}\). Isso é comum e facilita contas manuais.
- Regra de atualização (Jacobi): para cada iteração \(k\to k+1\), calcular simultaneamente
\[\begin{cases} x_{1}^{(k+1)}=0,6-0,5\,x_{2}^{(k)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)}=2,5-0,5\,x_{1}^{(k)}+0,4\,x_{3}^{(k)},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)}=-1,375+0,5\,x_{2}^{(k)}+0,125\,x_{4}^{(k)},\\[4pt] x_{4}^{(k+1)}=-2,2+0,2\,x_{3}^{(k)}. \end{cases}
Vou aplicar essa fórmula duas vezes, com k=0\] e \(k=1.]
Passo 5
Primeira iteração: calcular x^{(1)} a partir de x^{(0)}=(0,0,0,0).
Usando as fórmulas e substituindo os valores de x^{(0)}:
O erro (norma infinito) é o máximo desses valores:
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=1,25.]
Passo 8
Comentário final e encorajamento.
Fizemos duas iterações completas de Gauss–Jacobi a partir do chute x^{(0)}=(0,0,0,0)^{T} e calculamos o erro em norma infinito entre a segunda e a primeira iteração.
Como a matriz é estritamente diagonalmente dominante, o método converge; porém para obter precisão razoável será necessário continuar iterando até que a norma das diferenças fique abaixo da tolerância desejada (por exemplo 10^{-3} ou 10^{-4}, dependendo da prova).
Força aí — o procedimento é sempre o mesmo: isolar, aplicar fórmula, atualizar todas as componentes em paralelo e checar o erro.