Utilize o Método Iterativo linear para \varphi(x)=-e^{x} e tome como primeira aproximação x_{0}=0 para encontrar uma raiz para f(x)=e^{x}+x com uma precisão de \varepsilon=10^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede que, usando o Método Iterativo linear (iteração de ponto fixo) com \varphi(x)=-e^{x} e primeira aproximação x_{0}=0, encontre uma raiz da função f(x)=e^{x}+x com precisão \varepsilon=10^{-1}.
Informações dadas:
  • A função cuja raiz procuramos é f(x)=e^{x}+x.
  • A função de iteração é \varphi(x)=-e^{x}.
  • Aproximação inicial: x_{0}=0.
  • Precisão exigida: \varepsilon=10^{-1}.
O objetivo final é obter uma aproximação x_{n} tal que adotemos um critério de parada compatível com a precisão \varepsilon (ver Passo 2 para escolha do critério).

Passo 2

Explicando o método (aula rápida e prática). O Método Iterativo linear (iteração de ponto fixo) constrói a sequência
x_{k+1}=\varphi(x_{k})
esperando que ela convirja para um ponto fixo \alpha de \varphi, isto é, para \alpha tal que \alpha=\varphi(\alpha). No nosso caso, um ponto fixo de \varphi(x)=-e^{x} satisfaz
\alpha=-e^{\alpha}\quad\Longrightarrow\quad e^{\alpha}+\alpha=0,
logo é de fato uma raiz de f(x).
Condição de convergência (intuição): se |\varphi'(x)|\le L<1 em um intervalo que contém a solução e as iterações ficam nesse intervalo, então a iteração converge (contracção de Banach). Aqui
\varphi'(x) = -e^{x}.
Observe que |\varphi'(x)|=e^{x}. Para x\le 0 tem-se e^{x}\le 1, e para x<0 estritamente e^{x}<1. Nossa x_{0}=0 é um ponto onde |\varphi'(0)|=1 (caso limite), mas após a primeira iteração já vamos para x_{1}=-1 onde |\varphi'(-1)|=e^{-1}\approx0,3679<1. Portanto, a partir de x_{1} a função atua como uma contração local e a sequência tende a convergir.
Critério de parada prático que vamos usar (comum em provas): parar quando a diferença entre iterações sucessivas for menor que \varepsilon, isto é quando
|x_{k+1}-x_{k}|<\varepsilon.
Esse critério é fácil de verificar sem conhecer a raiz exata e, para este enunciado, atende ao pedido de precisão \varepsilon=10^{-1}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de iteração: x_{k+1}=\varphi(x_{k})=-e^{x_{k}}.
Primeira iteração:
x_{1}=-e^{x_{0}}=-e^{0}=-1.
Diferença: |x_{1}-x_{0}|=|-1-0|=1>0,1. Ainda não satisfaz o critério.

Passo 4

Segunda iteração:
x_{2}=-e^{x_{1}}=-e^{-1}=-\mathrm{e}^{-1}\approx -0,367879.
Diferença: |x_{2}-x_{1}|=| -0,367879-(-1)|=0,632121>0,1. Continua.

Passo 5

Terceira iteração:
x_{3}=-e^{x_{2}}=-e^{-0,367879}\approx -0,6922006.
Cálculo usado: peguei x_{2} da iteração anterior e calculei e^{x_{2}} aproximando e^{-0,367879}\approx0,6922006.
Diferença: |x_{3}-x_{2}|=| -0,6922006-(-0,367879)|\approx0,3243216>0,1.

Passo 6

Quarta iteração:
x_{4}=-e^{x_{3}}=-e^{-0,6922006}\approx -0,500474.
Cálculo usado: e^{-0,6922006}\approx0,500474 (aproximação baseada em expansão/valores conhecidos).
Diferença: |x_{4}-x_{3}|=| -0,500474-(-0,6922006)|\approx0,1917266>0,1.

Passo 7

Quinta iteração:
x_{5}=-e^{x_{4}}=-e^{-0,500474}\approx -0,606243.
Cálculo usado: e^{-0,500474}\approx0,606243.
Diferença: |x_{5}-x_{4}|=| -0,606243-(-0,500474)|\approx0,105769>0,1.
Ainda um pouco acima do limiar, mas bem próximo.

Passo 8

Sexta iteração:
x_{6}=-e^{x_{5}}=-e^{-0,606243}\approx -0,545397.
Cálculo usado: e^{-0,606243}\approx0,545397.
Diferença: |x_{6}-x_{5}|=| -0,545397-(-0,606243)|\approx0,060846<0,1.
Como a diferença entre duas iterações consecutivas ficou menor que \varepsilon=10^{-1}, o critério de parada está satisfeito.

Passo 9

Interpretação final e comentário amigo: obtivemos a aproximação x_{6}\approx -0,545397. Note que a raiz exata (pela teoria) é aproximadamente -0,567143\ldots, então nossa aproximação com critério de diferença sucessiva \varepsilon=0,1 está razoavelmente próxima. Se precisássemos precisão maior (por exemplo \varepsilon=10^{-3}), continuaríamos as iterações até que |x_{k+1}-x_{k}|<10^{-3}.
Força aí — a ideia é sempre aplicar x_{k+1}=-e^{x_{k}} e checar a diferença sucessiva; a técnica é simples e serve bem em prova quando pedem iteração de ponto fixo.

Resposta

-0,545397

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