Utilize o Método Iterativo linear para
e tome como primeira aproximação
para encontrar uma raiz para
com uma precisão de
.
Passo 1
O enunciado pede que, usando o Método Iterativo linear (iteração de ponto fixo) com
e primeira aproximação
, encontre uma raiz da função
com precisão
.
Informações dadas:
- A função cuja raiz procuramos é
. - A função de iteração é
. - Aproximação inicial:
. - Precisão exigida:
.
O objetivo final é obter uma aproximação
tal que adotemos um critério de parada compatível com a precisão
(ver Passo 2 para escolha do critério).
Passo 2
Explicando o método (aula rápida e prática). O Método Iterativo linear (iteração de ponto fixo) constrói a sequência
esperando que ela convirja para um ponto fixo
de
, isto é, para
tal que
. No nosso caso, um ponto fixo de
satisfaz
logo é de fato uma raiz de
.
Condição de convergência (intuição): se
em um intervalo que contém a solução e as iterações ficam nesse intervalo, então a iteração converge (contracção de Banach). Aqui
Observe que
. Para
tem-se
, e para
estritamente
. Nossa
é um ponto onde
(caso limite), mas após a primeira iteração já vamos para
onde
. Portanto, a partir de
a função atua como uma contração local e a sequência tende a convergir.
Critério de parada prático que vamos usar (comum em provas): parar quando a diferença entre iterações sucessivas for menor que
, isto é quando
Esse critério é fácil de verificar sem conhecer a raiz exata e, para este enunciado, atende ao pedido de precisão
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de iteração:
.
Primeira iteração:
Diferença:
. Ainda não satisfaz o critério.
Passo 4
Segunda iteração:
Diferença:
. Continua.
Passo 5
Terceira iteração:
Cálculo usado: peguei
da iteração anterior e calculei
aproximando
.
Diferença: .
Diferença:
Passo 6
Quarta iteração:
Cálculo usado:
(aproximação baseada em expansão/valores conhecidos).
Diferença: .
Diferença:
Passo 7
Quinta iteração:
Cálculo usado:
.
Diferença: .
Ainda um pouco acima do limiar, mas bem próximo.
Diferença:
Ainda um pouco acima do limiar, mas bem próximo.
Passo 8
Sexta iteração:
Cálculo usado:
.
Diferença: .
Diferença:
Como a diferença entre duas iterações consecutivas ficou menor que
, o critério de parada está satisfeito.
Passo 9
Interpretação final e comentário amigo: obtivemos a aproximação
. Note que a raiz exata (pela teoria) é aproximadamente
, então nossa aproximação com critério de diferença sucessiva
está razoavelmente próxima. Se precisássemos precisão maior (por exemplo
), continuaríamos as iterações até que
.
Força aí — a ideia é sempre aplicar
e checar a diferença sucessiva; a técnica é simples e serve bem em prova quando pedem iteração de ponto fixo.