Resolva os sistemas abaixo usando eliminação gaussiana com substituição reversa, usando pivoteamento parcial:
\left\{\begin{array}{c} 20 x_{1}+5 x_{2}+10 x_{3}=45 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3}=-5 \\\\ 30 x_{1}+30 x_{2}-90 x_{3}=-270 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede a solução usando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial e substituição reversa:
\left\{\begin{array}{r} 20 x_{1}+5 x_{2}+10 x_{3}=45,\\[4pt] 2 x_{1}+4 x_{2}-1 x_{3}=-5,\\[4pt] 30 x_{1}+30 x_{2}-90 x_{3}=-270. \end{array}\right.
As informações relevantes são os coeficientes e termos independentes de cada equação listados acima. O objetivo final é encontrar (x_{1},x_{2},x_{3}).]

Passo 2

Rápida explicação didática do método (pra você lembrar na hora da prova):
  • Eliminação gaussiana transforma o sistema em um sistema triangular superior por operações elementares de linha. Essas operações são: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra.
  • Pivoteamento parcial: em cada coluna de pivô (começando pela primeira), escolhe-se como linha de pivô a linha com o maior valor absoluto na coluna (entre as linhas que ainda não estão eliminadas) e, se necessário, troca-se a linha atual por essa linha. Isso reduz erros numéricos e evita pivôs muito pequenos.
  • Para zerar entradas abaixo do pivô a_{kk}, usa-se o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
e aplica-se R_i \leftarrow R_i - m_{ik} R_k.
  • Depois de triangular (tudo acima da diagonal zerado), resolve-se por substituição reversa: começa-se pela última equação para obter x_n, e sobe-se substituindo nas equações superiores.
Agora aplicamos isso passo a passo ao nosso sistema.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada e observamos a primeira coluna para pivoteamento (maior valor absoluto entre as entradas da coluna 1):
aumentada inicial
\left[\begin{array}{ccc|c} 20 & 5 & 10 & 45\\[4pt] 2 & 4 & -1 & -5\\[4pt] 30 & 30 & -90 & -270 \end{array}\right].
Na primeira coluna os valores absolutos são |20|,|2|,|30|; o maior é 30 (linha 3). Portanto trocamos a linha 1 com a linha 3 (pivoteamento parcial):
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 30 & -90 & -270\\[4pt] 2 & 4 & -1 & -5\\[4pt] 20 & 5 & 10 & 45 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô a_{11}=30.
Para zerar a entrada da linha 2, coluna 1:
m_{21}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}.
Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1. Calculando componente a componente:
  • Coluna 1: 2 - \frac{1}{15}\cdot30 = 2-2 = 0.
  • Coluna 2: 4 - \frac{1}{15}\cdot30 = 4-2 = 2.
  • Coluna 3: -1 - \frac{1}{15}\cdot(-90) = -1 - (-6) = -1+6 = 5.
  • Termo independente: -5 - \frac{1}{15}\cdot(-270) = -5 - (-18) = -5+18 = 13.
Logo a linha 2 vira [0\;,\;2\;,\;5\;|\;13].
Para zerar a entrada da linha 3, coluna 1:
m_{31}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}.
Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Calculando:
  • Coluna 1: 20 - \frac{2}{3}\cdot30 = 20-20 = 0.
  • Coluna 2: 5 - \frac{2}{3}\cdot30 = 5-20 = -15.
  • Coluna 3: 10 - \frac{2}{3}\cdot(-90) = 10 - (-60) = 10+60 = 70.
  • Termo independente: 45 - \frac{2}{3}\cdot(-270) = 45 - (-180) = 45+180 = 225.
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 30 & -90 & -270\\[4pt] 0 & 2 & 5 & 13\\[4pt] 0 & -15 & 70 & 225 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora vamos para a segunda coluna (pivô na posição a_{22}), considerando apenas as linhas 2 e 3. Os valores absolutos na coluna 2 são |2| (linha 2) e |-15| (linha 3); o maior é |-15|. Assim trocamos a linha 2 com a linha 3 (pivoteamento parcial na segunda etapa):
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 30 & -90 & -270\\[4pt] 0 & -15 & 70 & 225\\[4pt] 0 & 2 & 5 & 13 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminamos a entrada abaixo do novo pivô a_{22}=-15 (queremos zerar a entrada da linha 3, coluna 2).
Calculamos o multiplicador
m_{32}=\frac{2}{-15}=-\frac{2}{15}.
Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 - m_{32} R_2. Note que m_{32} é negativo, então estamos somando um múltiplo. Fazendo os cálculos:
  • Coluna 2: 2 - \left(-\frac{2}{15}\right)\cdot(-15) = 2 - \big((-2/15)\cdot(-15)\big) = 2 - 2 = 0 (confirma que zera).
  • Coluna 3: 5 - \left(-\frac{2}{15}\right)\cdot70 = 5 - \left(-\frac{140}{15}\right) = 5 + \frac{140}{15} = 5 + \frac{28}{3} = \frac{15+28}{3} = \frac{43}{3}.
  • Termo independente: 13 - \left(-\frac{2}{15}\right)\cdot225 = 13 - \left(-\frac{450}{15}\right) = 13 + 30 = 43.
Agora a matriz triangular superior é
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 30 & -90 & -270\\[4pt] 0 & -15 & 70 & 225\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{43}{3} & 43 \end{array}\right].]

Passo 7

Substituição reversa (resolvendo do fundo para cima).
Última equação (linha 3):
\frac{43}{3}\,x_{3}=43.
Isolando x_{3}:
x_{3} = 43 \div \frac{43}{3} = 43\cdot\frac{3}{43} = 3.
Agora a segunda equação (linha 2):
-15\,x_{2} + 70\,x_{3} = 225.
Substituindo x_{3}=3:
-15\,x_{2} + 70\cdot 3 = 225 \quad\Rightarrow\quad -15\,x_{2} + 210 = 225.
Isolando x_{2}:
-15\,x_{2} = 225 - 210 = 15 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = \frac{15}{-15} = -1.
Finalmente a primeira equação (linha 1):
30\,x_{1} + 30\,x_{2} -90\,x_{3} = -270.
Substituindo x_{2}=-1 e x_{3}=3:
30\,x_{1} + 30\cdot(-1) -90\cdot 3 = -270 \quad\Rightarrow\quad 30\,x_{1} -30 -270 = -270.
Simplificando:
30\,x_{1} -300 = -270 \quad\Rightarrow\quad 30\,x_{1} = 30 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.
Pequena verificação rápida (checar 1ª equação original):
20\cdot1 + 5\cdot(-1) + 10\cdot3 = 20 -5 +30 = 45 \quad\checkmark.
As outras também conferem se quiser checar — mas estão consistentes.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=3

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