Resolva os sistemas abaixo usando eliminação gaussiana com substituição reversa, sem usar pivoteamento:
\left\{\begin{array}{c} 4 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=9 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3}=-5 \\\ x_{1}+x_{2}-3 x_{3}=-9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com três incógnitas e três equações. As informações fornecidas são:
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=9,\\[4pt] 2x_{1}+4x_{2}-x_{3}=-5,\\[4pt] x_{1}+x_{2}-3x_{3}=-9. \end{cases}
O que é pedido: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve explicação do método que será aplicado (aula rápida e prática).
  • Eliminação gaussiana transforma o sistema original aplicando operações entre equações (chamadas operações elementares de linha) para obter um sistema triangular superior (ou seja, apenas uma incógnita na última equação, duas na penúltima, etc.).
  • As operações elementares permitidas são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Aqui não usaremos pivoteamento (não trocaremos linhas).
  • Após obter o sistema triangular superior usa-se substituição reversa (back substitution): resolve-se a última equação para a última incógnita e substitui-se esse valor nas equações acima para encontrar as demais incógnitas.
Notação: chamarei as equações de R_{1},R_{2},R_{3} correspondendo à primeira, segunda e terceira linhas do sistema.

Passo 3

Primeiro objetivo prático: zerar o coeficiente de x_{1} em R_{2} e R_{3} usando R_{1}.
Calculo do multiplicador para zerar x_{1} em R_{2}:
m_{21}=\frac{\text{coeficiente de }x_{1}\text{ em }R_{2}}{\text{coeficiente de }x_{1}\text{ em }R_{1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Aplicamos a operação R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}.
Vamos calcular termo a termo:
  • coeficiente de x_{1}: 2-\tfrac{1}{2}\cdot4=0 (era a intenção).
  • coeficiente de x_{2}: 4-\tfrac{1}{2}\cdot1=4-\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}.
  • coeficiente de x_{3}: -1-\tfrac{1}{2}\cdot2=-1-1=-2.
  • termo independente: -5-\tfrac{1}{2}\cdot9=-5-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{19}{2}.
Portanto a nova R_{2} é
R_{2}:\quad 0\cdot x_{1}+\tfrac{7}{2}x_{2}-2x_{3}=-\tfrac{19}{2}.

Passo 4

Agora zerar o coeficiente de x_{1} em R_{3} usando R_{1}.
Calculo do multiplicador:
m_{31}=\frac{\text{coeficiente de }x_{1}\text{ em }R_{3}}{\text{coeficiente de }x_{1}\text{ em }R_{1}}=\frac{1}{4}.
Aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}.
Cálculo termo a termo:
  • coeficiente de x_{1}: 1-\tfrac{1}{4}\cdot4=0.
  • coeficiente de x_{2}: 1-\tfrac{1}{4}\cdot1=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
  • coeficiente de x_{3}: -3-\tfrac{1}{4}\cdot2=-3-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{7}{2}.
  • termo independente: -9-\tfrac{1}{4}\cdot9=-9-\tfrac{9}{4}=-\tfrac{45}{4}.
Portanto a nova R_{3} é
R_{3}:\quad 0\cdot x_{1}+\tfrac{3}{4}x_{2}-\tfrac{7}{2}x_{3}=-\tfrac{45}{4}.

Passo 5

Após as operações temos o sistema equivalente triangular (só que ainda com duas equações que dependem de x_{2}\) e \(x_{3}\)): \[\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=9,\\[4pt] \tfrac{7}{2}x_{2}-2x_{3}=-\tfrac{19}{2},\\[4pt] \tfrac{3}{4}x_{2}-\tfrac{7}{2}x_{3}=-\tfrac{45}{4}. \end{cases}
Próximo objetivo: eliminar (x_{2}] da terceira equação usando a segunda equação.]

Passo 6

Calcular o multiplicador para zerar x_{2} em R_{3} usando R_{2}:
m_{32}=\frac{\text{coeficiente de }x_{2}\text{ em }R_{3}}{\text{coeficiente de }x_{2}\text{ em }R_{2}}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{7}{2}}=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{2}{7}=\tfrac{3}{14}.
Aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}.
Fazendo os cálculos com cuidado (mostrando as frações):
  • coeficiente de x_{2}: \tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{14}\cdot\tfrac{7}{2}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{14}\cdot\tfrac{7}{2}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{21}{28}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{4}=0.
  • coeficiente de x_{3}: -\tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{14}\cdot(-2)=-\tfrac{7}{2}+\tfrac{6}{14}=-\tfrac{7}{2}+\tfrac{3}{7}. Para somar, passe para denominador 14:
-\tfrac{7}{2}=-\tfrac{49}{14},\qquad \tfrac{3}{7}=\tfrac{6}{14},
logo soma =-\tfrac{49}{14}+\tfrac{6}{14}=-\tfrac{43}{14}.
  • termo independente: -\tfrac{45}{4}-\tfrac{3}{14}\cdot\left(-\tfrac{19}{2}\right)=-\tfrac{45}{4}+\tfrac{57}{28}. Passe a fração para denominador 28:
-\tfrac{45}{4}=-\tfrac{315}{28},\qquad \tfrac{57}{28}=\tfrac{57}{28},
soma =-\tfrac{315}{28}+\tfrac{57}{28}=-\tfrac{258}{28}=-\tfrac{129}{14}.
Portanto a nova R_{3} fica
R_{3}:\quad 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}-\tfrac{43}{14}x_{3}=-\tfrac{129}{14}.

Passo 7

Agora a terceira equação envolve apenas x_{3}. Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 14 para eliminar denominadores:
-\!43x_{3}=-129.
Isolando x_{3}:
x_{3}=\frac{-129}{-43}=3.
Comentário didático: aqui foi importante preservar frações e simplificar apenas no momento conveniente; o resultado saiu inteiro, o que facilita a substituição reversa.

Passo 8

Substituição reversa: usar o valor de x_{3} na segunda equação reduzida para encontrar x_{2}.
A segunda equação reduzida era
\tfrac{7}{2}x_{2}-2x_{3}=-\tfrac{19}{2}.
Substituindo x_{3}=3:
\tfrac{7}{2}x_{2}-2\cdot 3=-\tfrac{19}{2}.
Calcule os termos: -2\cdot 3=-6=-\tfrac{12}{2}. Então
\tfrac{7}{2}x_{2}-\tfrac{12}{2}=-\tfrac{19}{2}.
Somando \tfrac{12}{2} em ambos os lados:
\tfrac{7}{2}x_{2}=-\tfrac{19}{2}+\tfrac{12}{2}=-\tfrac{7}{2}.
Isolando x_{2}:
x_{2}=\frac{-\tfrac{7}{2}}{\tfrac{7}{2}}=-1.

Passo 9

Finalmente, usar x_{2}=-1 e x_{3}=3 na primeira equação original para achar x_{1}.
A primeira equação é
4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=9.
Substituindo:
4x_{1}+(-1)+2\cdot 3=9.
Calcule 2\cdot 3=6, então
4x_{1}-1+6=9\quad\Rightarrow\quad 4x_{1}+5=9.
Isolando x_{1}:
4x_{1}=9-5=4\quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=3

Exercícios relacionados