O que é pedido: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Breve explicação do método que será aplicado (aula rápida e prática).
Eliminação gaussiana transforma o sistema original aplicando operações entre equações (chamadas operações elementares de linha) para obter um sistema triangular superior (ou seja, apenas uma incógnita na última equação, duas na penúltima, etc.).
As operações elementares permitidas são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Aqui não usaremos pivoteamento (não trocaremos linhas).
Após obter o sistema triangular superior usa-se substituição reversa (back substitution): resolve-se a última equação para a última incógnita e substitui-se esse valor nas equações acima para encontrar as demais incógnitas.
Notação: chamarei as equações de R_{1},R_{2},R_{3} correspondendo à primeira, segunda e terceira linhas do sistema.
Passo 3
Primeiro objetivo prático: zerar o coeficiente de x_{1} em R_{2} e R_{3} usando R_{1}.
Calculo do multiplicador para zerar x_{1} em R_{2}:
m_{21}=\frac{\text{coeficiente de }x_{1}\text{ em }R_{2}}{\text{coeficiente de }x_{1}\text{ em }R_{1}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Aplicamos a operação R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}.
Vamos calcular termo a termo:
coeficiente de x_{1}: 2-\tfrac{1}{2}\cdot4=0 (era a intenção).
coeficiente de x_{2}: 4-\tfrac{1}{2}\cdot1=4-\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}.
coeficiente de x_{3}: -1-\tfrac{1}{2}\cdot2=-1-1=-2.
termo independente: -5-\tfrac{1}{2}\cdot9=-5-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{19}{2}.
Após as operações temos o sistema equivalente triangular (só que ainda com duas equações que dependem de x_{2}\) e \(x_{3}\)):
\[\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=9,\\[4pt] \tfrac{7}{2}x_{2}-2x_{3}=-\tfrac{19}{2},\\[4pt] \tfrac{3}{4}x_{2}-\tfrac{7}{2}x_{3}=-\tfrac{45}{4}. \end{cases}
Próximo objetivo: eliminar (x_{2}] da terceira equação usando a segunda equação.]
Passo 6
Calcular o multiplicador para zerar x_{2} em R_{3} usando R_{2}:
m_{32}=\frac{\text{coeficiente de }x_{2}\text{ em }R_{3}}{\text{coeficiente de }x_{2}\text{ em }R_{2}}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{7}{2}}=\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{2}{7}=\tfrac{3}{14}.
Aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}.
Fazendo os cálculos com cuidado (mostrando as frações):
coeficiente de x_{2}: \tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{14}\cdot\tfrac{7}{2}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{14}\cdot\tfrac{7}{2}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{21}{28}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{4}=0.
coeficiente de x_{3}: -\tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{14}\cdot(-2)=-\tfrac{7}{2}+\tfrac{6}{14}=-\tfrac{7}{2}+\tfrac{3}{7}. Para somar, passe para denominador 14:
Agora a terceira equação envolve apenas x_{3}. Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 14 para eliminar denominadores:
-\!43x_{3}=-129.
Isolando x_{3}:
x_{3}=\frac{-129}{-43}=3.
Comentário didático: aqui foi importante preservar frações e simplificar apenas no momento conveniente; o resultado saiu inteiro, o que facilita a substituição reversa.
Passo 8
Substituição reversa: usar o valor de x_{3} na segunda equação reduzida para encontrar x_{2}.
A segunda equação reduzida era
\tfrac{7}{2}x_{2}-2x_{3}=-\tfrac{19}{2}.
Substituindo x_{3}=3:
\tfrac{7}{2}x_{2}-2\cdot 3=-\tfrac{19}{2}.
Calcule os termos: -2\cdot 3=-6=-\tfrac{12}{2}. Então