Resolva os sistemas abaixo usando eliminação gaussiana com substituição reversa, usando pivoteamento parcial:
\left\{\begin{array}{c} 20 x_{1}-5 x_{2}+5 x_{3}=40 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=3 \\\\ 30 x_{1}+60 x_{2}+120 x_{3}=330 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede para resolvê-lo usando eliminação gaussiana com substituição reversa, aplicando pivoteamento parcial:
\left\{\begin{array}{r} 20 x_{1}-5 x_{2}+5 x_{3}=40,\\[4pt] 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=3,\\[4pt] 30 x_{1}+60 x_{2}+120 x_{3}=330. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Devemos usar eliminação por linhas (operações elementares), sempre escolhendo, em cada coluna, o pivô com maior valor absoluto entre as linhas disponíveis (pivoteamento parcial).
  • Ao final, usar substituição reversa (back substitution) para obter as incógnitas.]

Passo 2

Passo inicial: escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 20 & -5 & 5 & 40\\[4pt] 2 & 5 & 2 & 3\\[4pt] 30 & 60 & 120 & 330 \end{array}\right].
Explicação curta (o que é essa matriz): cada linha representa uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e a coluna após a barra é o lado direito.]

Passo 3

Pivoteamento parcial na coluna 1: entre as entradas |20|,|2|,|30| o maior valor absoluto é |30| (linha 3). Então trocamos a linha 1 com a linha 3 para colocar o maior pivô na posição (1,1). Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 60 & 120 & 330\\[4pt] 2 & 5 & 2 & 3\\[4pt] 20 & -5 & 5 & 40 \end{array}\right].
Comentário: trocar linhas é uma operação elementar permitida; isso reduz erros numéricos e facilita a eliminação.]

Passo 4

Eliminação da coluna 1 abaixo do pivô 30.
Calculamos os multiplicadores (para zerar a coluna 1 nas linhas 2 e 3):
m_{21}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15},\qquad m_{31}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}.
Aplicamos R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}.
Calculemos termo a termo:
Para R_{2}:
\frac{1}{15}R_{1}=\left(2,\;4,\;8,\;22\right),
R_{2}-\frac{1}{15}R_{1}=\left(2,5,2,3\right)-\left(2,4,8,22\right)=\left(0,1,-6,-19\right).
Para R_{3}:
\frac{2}{3}R_{1}=\left(20,\;40,\;80,\;220\right),
R_{3}-\frac{2}{3}R_{1}=\left(20,-5,5,40\right)-\left(20,40,80,220\right)=\left(0,-45,-75,-180\right).
Matriz após eliminação na primeira coluna:
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 60 & 120 & 330\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -19\\[4pt] 0 & -45 & -75 & -180 \end{array}\right].]

Passo 5

Pivoteamento parcial na coluna 2 (agora entre as linhas 2 e 3): comparamos |1| e |-45|; o maior é |-45| (linha 3). Então trocamos a linha 2 com a linha 3. Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 60 & 120 & 330\\[4pt] 0 & -45 & -75 & -180\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -19 \end{array}\right].
Comentário: novamente, posicionar o maior elemento absoluto como pivô reduz risco de divisão por número pequeno e melhora estabilidade.]

Passo 6

Eliminação da coluna 2 abaixo do pivô -45.
Calculamos o multiplicador para zerar a entrada da linha 3 na coluna 2:
m_{32}=\frac{1}{-45}=-\frac{1}{45}.
Aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}. Como m_{32}=-\tfrac{1}{45}, isso equivale a R_{3}\leftarrow R_{3}+ \tfrac{1}{45}R_{2}.
Calculemos \tfrac{1}{45}R_{2}:
\frac{1}{45}R_{2}=\left(0,\;-1,\;-\frac{75}{45},\;-\frac{180}{45}\right)=\left(0,-1,-\tfrac{5}{3},-4\right).
Somando a R_{3}=(0,1,-6,-19):
R_{3}+\frac{1}{45}R_{2}=\left(0,0,-6-\tfrac{5}{3},-19-4\right)=\left(0,0,-\tfrac{23}{3},-23\right).
A matriz triangular superior final é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 60 & 120 & 330\\[4pt] 0 & -45 & -75 & -180\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{23}{3} & -23 \end{array}\right].
Observação: poderíamos multiplicar a última linha por 3 para eliminar o denominador, ficando (0,0,-23,-69); ambos equivalem à mesma equação. Mantemos -\tfrac{23}{3} para resolver diretamente.]

Passo 7

Substituição reversa (back substitution): escrevemos as equações correspondentes às linhas superiores e resolvemos de baixo para cima.
Da linha 3:
-\tfrac{23}{3}\,x_{3}=-23.
Isolando x_{3}:
x_{3}=\frac{-23}{-\tfrac{23}{3}}=\frac{-23}{1}\cdot\frac{-3}{23}=3.
Da linha 2:
-45\,x_{2}-75\,x_{3}=-180.
Substituindo x_{3}=3:
-45\,x_{2}-75\cdot 3=-180 \quad\Rightarrow\quad -45\,x_{2}-225=-180.
Isolando x_{2}:
-45\,x_{2}=45 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=-1.
Da linha 1:
30\,x_{1}+60\,x_{2}+120\,x_{3}=330.
Substituindo x_{2}=-1 e x_{3}=3:
30\,x_{1}+60(-1)+120\cdot 3=330 \quad\Rightarrow\quad 30\,x_{1}-60+360=330.
30\,x_{1}+300=330 \quad\Rightarrow\quad 30\,x_{1}=30 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituir \(x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=3) nas equações originais:
Primeira equação:
20\cdot 1 -5\cdot(-1)+5\cdot 3=20+5+15=40 \quad\checkmark
Segunda:
2\cdot 1 +5\cdot(-1)+2\cdot 3=2-5+6=3 \quad\checkmark
Terceira:
30\cdot 1 +60\cdot(-1)+120\cdot 3=30-60+360=330 \quad\checkmark
Tudo confere, solução correta.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=3

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