Resolva os sistemas de congruência:
x equiv 1(bmod 3), x equiv 2(bmod 5), x equiv 3(bmod 7).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar um número inteiro x equiv 1 pmod3, x equiv 2 pmod5, x equiv 3 pmod7 que satisfaça simultaneamente:
Isso faz parte do conteúdo de “congruências” ou “Teorema Chinês do Resto” (CRT). Para resolver, vamos usar o CRT, que diz que se os módulos (3, 5 e 7) são primos entre si, existe uma solução única módulo . Precisamos então:
  1. Calcular o produto total .
  2. Para cada congruência, definir .
  3. Achar o inverso de módulo .
  4. Combinar tudo pra achar .

Passo 2

Primeiro, calcula o produto total:
N = 3 times 5 times 7 = 105
Depois, para cada módulo N1 = N3 = 35, N2 = N5 = 21, N3 = N7 = 15 (ou seja, 3, 5 e 7), define

Passo 3

Agora a gente precisa achar o inverso de cada Ni ,yi equiv 1 pmodni módulo , ou seja, o número tal que
  • Para e :
    , então a gente quer .
    Testando, funciona porque .
  • Para e :
    , então já temos , logo .
  • Para e :
    , então .

Passo 4

Com tudo pronto, usamos a fórmula do CRT:
x ;=;sumi=1^3 ai,Ni,yi ;equiv; 1cdot35cdot2 ;+; 2cdot21cdot1 ;+; 3cdot15cdot1 ;=; 70 + 42 + 45 ;=; 157
Mas a solução é única módulo 157 bmod 105 = 157 - 105 = 52 , então a gente reduz

Resposta

.

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