Resolva os sistemas de equações lineares já apresentados na forma ampliada pelo método de Eliminação de Gauss e pelos métodos indiretos de resolução (JACOBI, GAUSS- SEIDEL), com solução inicial ( )
Passo 1
Estamos aqui para resolver um sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: o Método de Eliminação de Gauss e os Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel). O sistema de equações que vamos resolver está na forma ampliada:
Para resolver esse sistema, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Método de Eliminação de Gauss
Primeiro, vamos resolver o sistema usando o Método de Eliminação de Gauss. Esse método transforma a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução das variáveis.
Passo 2: Eliminar a variável 73R2 + R3 R3 da terceira equação
Agora, vamos eliminar 73(-3y +4z) + (-7y +7z) = 73(-5) + (-6) da terceira equação usando a segunda equação.
Multiplicamos a segunda linha por -7y + 283z -7y +7z = -353 -6 e somamos à terceira linha:
-14y + 493z = -533
493z = -533 + 14y
-14y + 493z = -533
-42y + 49z = -53
Simplificando:
49z = -53 + 42y
Mas como queremos eliminar z = -53 + 42y49 , reorganizamos:
Para simplificar, vamos multiplicar toda a equação por 3:
Agora, podemos resolver para :
Passo 5
Passo 3: Resolver para as variáveis -3y +4z = -5 e -3y +4(-53 + 42y49) = -5
Vamos agora resolver as equações para encontrar os valores de -3y + -212 + 168y49 = -5 e -147y -212 +168y = -245 .
Primeiro, da segunda equação:
21y = -33
Substituímos y = -3321 = -117 da equação anterior:
z = -53 + 42(-117)49 = -53 -6649 = -11949 = -177
Multiplicando:
Multiplicamos toda a equação por 49 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Agora, substituímos para encontrar :
Passo 6
Passo 4: Encontrar a variável x -2y +3z = -1
Usamos a primeira equação para encontrar x -2(-117) +3(-177) = -1 :
x + 227 - 517 = -1
Substituindo os valores de x - 297 = -1 e x = -1 + 297 = -7 +297 = 227 :
Passo 7
Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel)
Agora, vamos utilizar os métodos iterativos para resolver o mesmo sistema, começando com a solução inicial x = -1 + 2y -3z y = 3 +2x +2z z = 3 -3x -y2 .
Primeiro, reescrevemos as equações isolando cada variável:
Passo 8
Método de Jacobi
No método de Jacobi, atualizamos cada variável usando os valores da iteração anterior.
Novamente, vemos que os valores não estão se estabilizando, indicando que o método não está convergindo para uma solução.
Resposta
A solução do sistema de equações lineares é:
x = 227, y = -117, z = -177
Concluímos que o Método de Eliminação de Gauss resolveu o sistema com sucesso, enquanto os Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel) não convergiram para a solução neste caso específico.