Resolva os sistemas de equações lineares já apresentados na forma ampliada pelo método de Eliminação de Gauss e pelos métodos indiretos de resolução (JACOBI, GAUSS- SEIDEL), com solução inicial ( 0 ; 0 ; 0 )
|ccc|c1 & -2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 & 3|

Passo 1

Estamos aqui para resolver um sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: o Método de Eliminação de Gauss e os Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel). O sistema de equações que vamos resolver está na forma ampliada:
[ccc|c 1 & -2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 & 3 ]
Para resolver esse sistema, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Método de Eliminação de Gauss
Primeiro, vamos resolver o sistema usando o Método de Eliminação de Gauss. Esse método transforma a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução das variáveis.

Passo 3

Passo 1: Eliminar a variável [ccc|c 1 & -2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 & 3 ] das equações 2 e 3
Começamos com a matriz aumentada:
2R1 - R2 R2
  • Eliminando 2(1x - 2y + 3z) - (2x -1y +2z) = 2(-1) - 3 da segunda equação:
Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
2x -4y +6z -2x +1y -2z = -2 -3
-3y +4z = -5
3R1 - R3 R3
3(1x - 2y + 3z) - (3x +1y +2z) = 3(-1) - 3
  • Eliminando 3x -6y +9z -3x -1y -2z = -3 -3 da terceira equação:
Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
-7y +7z = -6
[ccc|c 1 & -2 & 3 & -1 0 & -3 & 4 & -5 0 & -7 & 7 & -6 ]
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Passo 2: Eliminar a variável 73R2 + R3 R3 da terceira equação
Agora, vamos eliminar 73(-3y +4z) + (-7y +7z) = 73(-5) + (-6) da terceira equação usando a segunda equação.
Multiplicamos a segunda linha por -7y + 283z -7y +7z = -353 -6 e somamos à terceira linha:
-14y + 493z = -533
493z = -533 + 14y
-14y + 493z = -533
-42y + 49z = -53
Simplificando:
49z = -53 + 42y
Mas como queremos eliminar z = -53 + 42y49 , reorganizamos:
Para simplificar, vamos multiplicar toda a equação por 3:
Agora, podemos resolver para :

Passo 5

Passo 3: Resolver para as variáveis -3y +4z = -5 e -3y +4(-53 + 42y49) = -5
Vamos agora resolver as equações para encontrar os valores de -3y + -212 + 168y49 = -5 e -147y -212 +168y = -245 .
Primeiro, da segunda equação:
21y = -33
Substituímos y = -3321 = -117 da equação anterior:
z = -53 + 42(-117)49 = -53 -6649 = -11949 = -177
Multiplicando:
Multiplicamos toda a equação por 49 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Agora, substituímos para encontrar :

Passo 6

Passo 4: Encontrar a variável x -2y +3z = -1
Usamos a primeira equação para encontrar x -2(-117) +3(-177) = -1 :
x + 227 - 517 = -1
Substituindo os valores de x - 297 = -1 e x = -1 + 297 = -7 +297 = 227 :

Passo 7

Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel)
Agora, vamos utilizar os métodos iterativos para resolver o mesmo sistema, começando com a solução inicial x = -1 + 2y -3z y = 3 +2x +2z z = 3 -3x -y2 .
Primeiro, reescrevemos as equações isolando cada variável:

Passo 8

Método de Jacobi
No método de Jacobi, atualizamos cada variável usando os valores da iteração anterior.
  • Iteração 1:
x^(1) = -1 + 2(0) -3(0) = -1 y^(1) = 3 +2(0) +2(0) = 3 z^(1) = 3 -3(0) -02 = 32 = 1.5
  • Iteração 2:
x^(2) = -1 + 2(3) -3(1.5) = -1 +6 -4.5 = 0.5 y^(2) = 3 +2(-1) +2(1.5) = 3 -2 +3 = 4 z^(2) = 3 -3(-1) -32 = 3 +3 -32 = 32 = 1.5
  • Iteração 3:
x^(3) = -1 + 2(4) -3(1.5) = -1 +8 -4.5 = 2.5 y^(3) = 3 +2(0.5) +2(1.5) = 3 +1 +3 = 7 z^(3) = 3 -3(0.5) -42 = 3 -1.5 -42 = -2.52 = -1.25
Observamos que os valores estão oscilando e não convergindo para uma solução estável.

Passo 9

Método de Gauss-Seidel
No método de Gauss-Seidel, atualizamos cada variável imediatamente após calculá-la, usando os valores mais recentes disponíveis.
  • Iteração 1:
x^(1) = -1 + 2(0) -3(0) = -1 y^(1) = 3 +2(-1) +2(0) = 3 -2 = 1 z^(1) = 3 -3(-1) -12 = 3 +3 -12 = 52 = 2.5
  • Iteração 2:
x^(2) = -1 + 2(1) -3(2.5) = -1 +2 -7.5 = -6.5 y^(2) = 3 +2(-6.5) +2(2.5) = 3 -13 +5 = -5 z^(2) = 3 -3(-6.5) -(-5)2 = 3 +19.5 +52 = 27.52 = 13.75
Novamente, vemos que os valores não estão se estabilizando, indicando que o método não está convergindo para uma solução.

Resposta

A solução do sistema de equações lineares é:
x = 227, y = -117, z = -177
Concluímos que o Método de Eliminação de Gauss resolveu o sistema com sucesso, enquanto os Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel) não convergiram para a solução neste caso específico.

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