Determine qual o melhor grau do polinômio interpolador que aproxima
tabelada abaixo.
-1
5
0
13
2
-4
5
-8
|
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-1 | 5 |
0 | 13 |
2 | -4 |
5 | -8 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o melhor grau do polinômio interpolador que aproxima a função $ f(x) $ com os valores tabelados fornecidos. Isso está relacionado ao tópico de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos precisar entender como escolher o grau adequado do polinômio que passa pelos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por todos os pontos da tabela. A regra geral é que, para $ n+1 $ pontos distintos, precisamos de um polinômio de grau $ n $ para interpolar esses pontos.
Passo 3
No nosso caso, temos 4 pontos:
Aqui, $ n+1 = 4 $, então $ n = 3 $. Isso indica que, em geral, precisaríamos de um polinômio de grau 3 para interpolar esses pontos.
Passo 4
No entanto, vamos verificar se um polinômio de grau menor também poderia passar por todos esses pontos. Se os pontos se alinharem em um polinômio de grau 2 ou 1, poderíamos usar um grau menor. Para isso, precisaríamos resolver o sistema de equações para diferentes graus e ver se há solução.
Passo 5
Começando com um polinômio de grau 1 (uma reta), teríamos:
Precisaríamos de duas equações para encontrar $ a $ e $ b $. Usando dois pontos, por exemplo,
e
:
Resolvendo, encontramos $ b = 13 $ e $ a = 8 $, então a reta seria $ f(x) = 8x + 13 $.
Passo 6
Vamos verificar se essa reta passa pelos outros pontos:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 2 $:
Já não bate. Então, um polinômio de grau 1 não serve.
Passo 7
Agora, tentamos um polinômio de grau 2:
Precisamos de três equações para encontrar $ a $, $ b $ e $ c $. Usando três pontos, por exemplo,
,
e
:
Resolvendo esse sistema, descobrimos os valores de $ a $, $ b $ e $ c $. Porém, ao verificar o quarto ponto
, veremos que não se encaixa nesse polinômio.
Passo 8
Como um polinômio de grau 2 também não atende a todos os pontos, concluímos que precisamos de um polinômio de grau 3 para interpolar todos os quatro pontos da tabela.
Resposta
O melhor grau do polinômio interpolador para aproximar $ f(x) $ é 3.