Determine qual o melhor grau do polinômio interpolador que aproxima f(x) tabelada abaixo.
c|c $x$ & $f(x)$ hline-1 & 5 0 & 13 2 & -4 5 & -8
-1 5
0 13
2 -4
5 -8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o melhor grau do polinômio interpolador que aproxima a função $ f(x) $ com os valores tabelados fornecidos. Isso está relacionado ao tópico de Interpolação Polinomial. Para resolver, vamos precisar entender como escolher o grau adequado do polinômio que passa pelos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. Basicamente, é um polinômio que passa exatamente por todos os pontos da tabela. A regra geral é que, para $ n+1 $ pontos distintos, precisamos de um polinômio de grau $ n $ para interpolar esses pontos.

Passo 3

No nosso caso, temos 4 pontos:
(-1, 5), (0, 13), (2, -4), (5, -8)
Aqui, $ n+1 = 4 $, então $ n = 3 $. Isso indica que, em geral, precisaríamos de um polinômio de grau 3 para interpolar esses pontos.

Passo 4

No entanto, vamos verificar se um polinômio de grau menor também poderia passar por todos esses pontos. Se os pontos se alinharem em um polinômio de grau 2 ou 1, poderíamos usar um grau menor. Para isso, precisaríamos resolver o sistema de equações para diferentes graus e ver se há solução.

Passo 5

Começando com um polinômio de grau 1 (uma reta), teríamos:
f(x) = ax + b
Precisaríamos de duas equações para encontrar $ a $ e $ b $. Usando dois pontos, por exemplo, a e b :
(-1, 5)
Resolvendo, encontramos $ b = 13 $ e $ a = 8 $, então a reta seria $ f(x) = 8x + 13 $.

Passo 6

Vamos verificar se essa reta passa pelos outros pontos:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Já não bate. Então, um polinômio de grau 1 não serve.

Passo 7

Agora, tentamos um polinômio de grau 2:
f(x) = ax^2 + bx + c
Precisamos de três equações para encontrar $ a $, $ b $ e $ c $. Usando três pontos, por exemplo, a , b e c :
(-1, 5)
Resolvendo esse sistema, descobrimos os valores de $ a $, $ b $ e $ c $. Porém, ao verificar o quarto ponto (0, 13), veremos que não se encaixa nesse polinômio.

Passo 8

Como um polinômio de grau 2 também não atende a todos os pontos, concluímos que precisamos de um polinômio de grau 3 para interpolar todos os quatro pontos da tabela.

Resposta

O melhor grau do polinômio interpolador para aproximar $ f(x) $ é 3.

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