Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{ \begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\2 x_{1}-x_{2}=1 \\-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=1 \\-x_{3}+2 x_{4}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e nos dá quatro equações com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}=1,\\[4pt] -x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1,\\[4pt] -x_{3}+2x_{4}=1. \end{cases}
O objetivo é encontrar os valores de (,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},] que satisfazem simultaneamente essas quatro equações.]

Passo 2

Vamos usar o método de substituição: sempre que uma equação isolar uma variável facilmente, resolvemos por ela e substituímos nas outras, reduzindo o sistema. A segunda equação é simples para isolar x_{1}:
2x_{1}-x_{2}=1.
Isolando x_{1} temos:
2x_{1}=1+x_{2}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{1+x_{2}}{2}.
Explico rápido: multiplicar ou dividir ambos os lados por um número é permitido (desde que não seja zero) porque mantém a igualdade; isolamos a variável expressando-a em termos das demais.

Passo 3

Substituímos \,x_{1}=\frac{1+x_{2}}{2}\, na primeira equação \,x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1:
\frac{1+x_{2}}{2}+2x_{2}-x_{3}=1.
Para eliminar o denominador, multiplico tudo por 2:
1+x_{2}+4x_{2}-2x_{3}=2.
Agrupando termos semelhantes:
5x_{2}-2x_{3}=1.
Chamo essa relação de (A):
\text{(A)}\quad 5x_{2}-2x_{3}=1.
Comentário: obtivemos uma equação envolvendo apenas x_{2} e x_{3}, reduzindo a complexidade.

Passo 4

Olhemos agora para a quarta equação, que isola bem x_{3} em função de x_{4}:
-x_{3}+2x_{4}=1.
Isolando x_{3}:
-x_{3}=1-2x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=2x_{4}-1.
Novamente, vimos que uma equação simples permite expressão direta de uma variável.

Passo 5

Substituímos \,x_{3}=2x_{4}-1\, na terceira equação -x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1:
-x_{2}+2(2x_{4}-1)-x_{4}=1.
Desenvolvendo:
-x_{2}+4x_{4}-2-x_{4}=1.
Juntando termos em x_{4} e constantes:
-x_{2}+3x_{4}-2=1.
Isolando x_{2}:
-x_{2}=1+2-3x_{4}=3-3x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=3x_{4}-3.
Agora temos x_{2} em função de x_{4}.

Passo 6

Temos expressões de x_{2} e x_{3} em termos de x_{4}. Vamos substituir ambas na relação (A) para encontrar x_{4}:
\text{(A)}:\quad 5x_{2}-2x_{3}=1.
Substituindo x_{2}=3x_{4}-3 e x_{3}=2x_{4}-1:
5(3x_{4}-3)-2(2x_{4}-1)=1.
Calculando:
15x_{4}-15-4x_{4}+2=1.
Somando termos semelhantes:
11x_{4}-13=1.
Isolando x_{4}:
11x_{4}=14\quad\Rightarrow\quad x_{4}=\frac{14}{11}.

Passo 7

Agora voltamos substituindo x_{4}=\frac{14}{11} para obter x_{3},x_{2},x_{1}.
Primeiro x_{3}=2x_{4}-1:
x_{3}=2\cdot\frac{14}{11}-1=\frac{28}{11}-\frac{11}{11}=\frac{17}{11}.
Depois x_{2}=3x_{4}-3:
x_{2}=3\cdot\frac{14}{11}-3=\frac{42}{11}-\frac{33}{11}=\frac{9}{11}.
Finalmente x_{1}=\frac{1+x_{2}}{2}:
x_{1}=\frac{1+\frac{9}{11}}{2}=\frac{\frac{11}{11}+\frac{9}{11}}{2}=\frac{\frac{20}{11}}{2}=\frac{10}{11}.

Passo 8

Verificação rápida (substituir na esquerda das equações originais para conferir que dá 1):
Equação 1:
x_{1}+2x_{2}-x_{3}=\frac{10}{11}+2\cdot\frac{9}{11}-\frac{17}{11}=\frac{10+18-17}{11}=\frac{11}{11}=1.
Equação 2:
2x_{1}-x_{2}=2\cdot\frac{10}{11}-\frac{9}{11}=\frac{20-9}{11}=\frac{11}{11}=1.
Equação 3:
-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=-\frac{9}{11}+2\cdot\frac{17}{11}-\frac{14}{11}=\frac{-9+34-14}{11}=\frac{11}{11}=1.
Equação 4:
-x_{3}+2x_{4}=-\frac{17}{11}+2\cdot\frac{14}{11}=\frac{-17+28}{11}=\frac{11}{11}=1.
Tudo confere, solução correta.

Resposta

x_{1}=\dfrac{10}{11}
x_{2}=\dfrac{9}{11}
x_{3}=\dfrac{17}{11}
x_{4}=\dfrac{14}{11}

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