Informações dadas: as quatro equações lineares acima e as incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. O que o enunciado pede: encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} que satisfazem todas as equações simultaneamente (ou mostrar que não existe solução). Não faço nenhum cálculo neste passo, apenas listei o sistema e o objetivo.]
Passo 2
Observação prática (ferramenta que vamos usar): a segunda equação é simples e já isola x_{2}. Isso é útil porque eliminar uma incógnita simplifica o sistema. A equação é
x_{2}-2x_{3}=3.
Resolver para x_{2} significa passar -2x_{3} para o outro lado: somamos 2x_{3} em ambos os lados. Assim obtemos a expressão
x_{2}=3+2x_{3}.
Explicação didática: isolar uma variável consiste em obter essa variável sozinha em um dos lados da igualdade, o que é sempre permitido desde que façamos operações iguais nos dois lados.
Passo 3
Agora substituímos \,x_{2}=3+2x_{3}\, nas outras equações (essa é a técnica de substituição). Substituo na primeira equação:
x_{1}-3x_{2}+x_{3}-x_{4}=-1.
Trocando x_{2} por 3+2x_{3} obtemos
x_{1}-3(3+2x_{3})+x_{3}-x_{4}=-1.
Desenvolvendo os parênteses:
x_{1}-9-6x_{3}+x_{3}-x_{4}=-1.
Agrupando termos semelhantes em x_{3} e isolando constantes:
x_{1}-5x_{3}-x_{4}-9=-1.
Passando o -9 para o outro lado (somando 9 em ambos os lados) fica
x_{1}-5x_{3}-x_{4}=8.
Passo 4
Substituo também \,x_{2}=3+2x_{3}\, na terceira equação
10x_{1}+x_{2}+x_{4}=-8.
Trocando:
10x_{1}+(3+2x_{3})+x_{4}=-8.
Agrupando termos:
10x_{1}+2x_{3}+x_{4}+3=-8.
Passando o 3 para o outro lado (subtraindo 3):
10x_{1}+2x_{3}+x_{4}=-11.
Essa será usada mais adiante para checar consistência.
Passo 5
A quarta equação não envolve x_{2}, então a mantemos:
x_{1}-x_{3}+3x_{4}=8.
Agora temos um sistema reduzido em três incógnitas (x_{1},x_{3},x_{4}):
Rápida verificação (boa prática): substituo os valores finais nas equações originais para garantir que tudo bate. Vou checar, por exemplo, a primeira equação:
então o resultado é \dfrac{-41}{41}=-1, que confere com a primeira equação. As outras equações também conferem (procedimento análogo). Assim a solução está correta e consistente.