Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{ \begin{array}{l}x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-1 \\x_{2}-2 x_{3}=3 \\10 x_{1}+x_{2}+x_{4}=-8 \\x_{1}-x_{3}+3 x_{4}=8\end{array}\right.

Passo 1

O sistema que precisamos resolver é
\begin{cases} x_{1}-3x_{2}+x_{3}-x_{4}=-1,\\[4pt] x_{2}-2x_{3}=3,\\[4pt] 10x_{1}+x_{2}+x_{4}=-8,\\[4pt] x_{1}-x_{3}+3x_{4}=8. \end{cases}
Informações dadas: as quatro equações lineares acima e as incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. O que o enunciado pede: encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} que satisfazem todas as equações simultaneamente (ou mostrar que não existe solução). Não faço nenhum cálculo neste passo, apenas listei o sistema e o objetivo.]

Passo 2

Observação prática (ferramenta que vamos usar): a segunda equação é simples e já isola x_{2}. Isso é útil porque eliminar uma incógnita simplifica o sistema. A equação é
x_{2}-2x_{3}=3.
Resolver para x_{2} significa passar -2x_{3} para o outro lado: somamos 2x_{3} em ambos os lados. Assim obtemos a expressão
x_{2}=3+2x_{3}.
Explicação didática: isolar uma variável consiste em obter essa variável sozinha em um dos lados da igualdade, o que é sempre permitido desde que façamos operações iguais nos dois lados.

Passo 3

Agora substituímos \,x_{2}=3+2x_{3}\, nas outras equações (essa é a técnica de substituição). Substituo na primeira equação:
x_{1}-3x_{2}+x_{3}-x_{4}=-1.
Trocando x_{2} por 3+2x_{3} obtemos
x_{1}-3(3+2x_{3})+x_{3}-x_{4}=-1.
Desenvolvendo os parênteses:
x_{1}-9-6x_{3}+x_{3}-x_{4}=-1.
Agrupando termos semelhantes em x_{3} e isolando constantes:
x_{1}-5x_{3}-x_{4}-9=-1.
Passando o -9 para o outro lado (somando 9 em ambos os lados) fica
x_{1}-5x_{3}-x_{4}=8.

Passo 4

Substituo também \,x_{2}=3+2x_{3}\, na terceira equação
10x_{1}+x_{2}+x_{4}=-8.
Trocando:
10x_{1}+(3+2x_{3})+x_{4}=-8.
Agrupando termos:
10x_{1}+2x_{3}+x_{4}+3=-8.
Passando o 3 para o outro lado (subtraindo 3):
10x_{1}+2x_{3}+x_{4}=-11.
Essa será usada mais adiante para checar consistência.

Passo 5

A quarta equação não envolve x_{2}, então a mantemos:
x_{1}-x_{3}+3x_{4}=8.
Agora temos um sistema reduzido em três incógnitas ( x_{1},x_{3},x_{4}):
\begin{cases} x_{1}-5x_{3}-x_{4}=8,\\[4pt] 10x_{1}+2x_{3}+x_{4}=-11,\\[4pt] x_{1}-x_{3}+3x_{4}=8. \end{cases}
Explicação: reduzir o sistema facilita a resolução porque já eliminamos uma variável usando a equação simples.]

Passo 6

Vamos eliminar x_{1} entre a primeira e a terceira equações do sistema reduzido para obter uma relação só entre x_{3} e x_{4}. Chamo
\text{(A)}\; x_{1}-5x_{3}-x_{4}=8,\qquad \text{\text{(C)}}\; x_{1}-x_{3}+3x_{4}=8.
Subtraindo (C) de (A) (ou seja, (A)-(C)) para eliminar x_{1}:
(x_{1}-x_{1})+(-5x_{3}-(-x_{3}))+(-x_{4}-3x_{4})=8-8.
Simplificando:
-4x_{3}-4x_{4}=0.
Dividindo por -4 (operação permitida) obtemos
x_{3}+x_{4}=0.
Assim chegamos à relação simples entre x_{3} e x_{4}.

Passo 7

Da relação x_{3}+x_{4}=0 concluímos
x_{3}=-x_{4}.
Agora voltamos às expressões anteriores para obter x_{1} e x_{2} em função de x_{4}. Usando a equação (C)
x_{1}-x_{3}+3x_{4}=8,
substituindo x_{3}=-x_{4}:
x_{1}-(-x_{4})+3x_{4}=8.
Isso vira
x_{1}+x_{4}+3x_{4}=8,
ou seja
x_{1}+4x_{4}=8.
Portanto
x_{1}=8-4x_{4}.
E lembrando que x_{2}=3+2x_{3} e x_{3}=-x_{4}, temos
x_{2}=3+2(-x_{4})=3-2x_{4}.

Passo 8

Até agora temos todas as incógnitas expressas em função de x_{4}:
x_{1}=8-4x_{4},\qquad x_{2}=3-2x_{4},\qquad x_{3}=-x_{4},\qquad x_{4}=\text{parâmetro}.â
Mas o sistema original tem quatro equações; precisamos usar a terceira equação reduzida (que obtivemos no Passo 4)
10x_{1}+2x_{3}+x_{4}=-11
para determinar o valor numérico de x_{4}. Substituo as expressões obtidas:
10(8-4x_{4})+2(-x_{4})+x_{4}=-11.
Agora calculamos multiplicando e somando os termos:
80-40x_{4}-2x_{4}+x_{4}=-11.
Agrupando os coeficientes de x_{4}:
80-41x_{4}=-11.
Passando 80 para o outro lado:
-41x_{4}=-91.
Dividindo por -41:
x_{4}=\frac{91}{41}.
Explicação: cada passo foi apenas álgebra elementar — multiplicar, somar termos semelhantes e isolar a incógnita.

Passo 9

Com x_{4}=\dfrac{91}{41} obtemos as demais variáveis substituindo nas expressões do Passo 7:
x_{3}=-x_{4}=-\frac{91}{41}=\frac{-91}{41},
x_{2}=3-2x_{4}=3-2\cdot\frac{91}{41}.
Calculo de x_{2}: 3=\dfrac{123}{41}, então
x_{2}=\frac{123}{41}-\frac{182}{41}=\frac{-59}{41}.
Para x_{1}:
x_{1}=8-4x_{4}=8-4\cdot\frac{91}{41}.
Calculo de x_{1}: 8=\dfrac{328}{41}, então
x_{1}=\frac{328}{41}-\frac{364}{41}=\frac{-36}{41}.

Passo 10

Rápida verificação (boa prática): substituo os valores finais nas equações originais para garantir que tudo bate. Vou checar, por exemplo, a primeira equação:
x_{1}-3x_{2}+x_{3}-x_{4}=\frac{-36}{41}-3\cdot\frac{-59}{41}+\frac{-91}{41}-\frac{91}{41}.
Somando numeradores:
-36 +177 -91 -91 = -41,
então o resultado é \dfrac{-41}{41}=-1, que confere com a primeira equação. As outras equações também conferem (procedimento análogo). Assim a solução está correta e consistente.

Resposta

x_{1}=\dfrac{-36}{41} \n
x_{2}=\dfrac{-59}{41} \n
x_{3}=\dfrac{-91}{41} \n
x_{4}=\dfrac{91}{41}

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