Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{\begin{array}{l}4 x-y-3 z=15 \\3 x-12 y+5 z=-7 \\2 x+3 y+4 z=7\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear (encontre x,y,z\) que satisfaçam todas as equações):
\[\begin{cases} 4x - y - 3z = 15,\\[4pt] 3x - 12y + 5z = -7,\\[4pt] 2x + 3y + 4z = 7. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z\]. Temos que achar o triplo \((x,y,z) que satisfaça todas ao mesmo tempo.]
Passo 2
Método escolhido: eliminação (Gaussiana) — vou transformar o sistema em um triangular superior por operações entre equações e depois fazer substituição regressiva. Explicando a ideia (curtinha e prática): podemos realizar três tipos de operações em uma equação sem alterar o conjunto de soluções:
multiplicar uma equação por escalar não nulo;
somar a uma equação um múltiplo de outra;
trocar a ordem das equações.
Essas operações preservam as soluções porque correspondem a manipulações lógicas válidas nas igualdades. Em prova, é comum escolher combinações que evitem frações no meio das contas; vou usar isso quando possível.
Passo 3
Escrevo o sistema na forma de “matriz aumentada” (só para visualizar; vou operar sobre as equações):
Primeira etapa: eliminar a incógnita x\) em duas equações usando a terceira equação (escolhi a terceira porque ao subtrair múltiplos dela da primeira dá números inteiros pequenos).
Faço a operação \(\text{(nova R1)}=\text{R1}-2\cdot\text{R3}\). Calculando termo a termo:
\[\text{R1}-2\cdot\text{R3}: \quad \begin{cases} 4-2\cdot 2=0,\\[4pt] -1-2\cdot 3=-7,\\[4pt] -3-2\cdot 4=-11,\\[4pt] 15-2\cdot 7=1. \end{cases}
onde, para facilitar, coloquei a equação com coeficiente de x igual a 2 como primeira linha (é apenas trocar a ordem das linhas, operação permitida).]
Passo 5
Agora temos um sistema triangular em x na primeira coluna (zeros nas colunas correspondentes em R2 e R3). O próximo objetivo é eliminar y da terceira linha usando a segunda linha como pivô (segunda linha tem coeficiente de y igual a -7, relativamente pequeno).
Para eliminar y em R3 via inteiros, faço 7\cdot\text{R3} - 33\cdot\text{R2}. Calculo termo a termo:
Pequena verificação (uma checada rápida para ganhar confiança): uso a primeira equação original 4x - y -3z.
Com os valores encontrados, todos com denominador 349,