Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{ \begin{array}{l}4 x-y-3 z=15 \\3 x-12 y+5 z=-7 \\2 x+3 y+4 z=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear (encontre x,y,z\) que satisfaçam todas as equações): \[\begin{cases} 4x - y - 3z = 15,\\[4pt] 3x - 12y + 5z = -7,\\[4pt] 2x + 3y + 4z = 7. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z\]. Temos que achar o triplo \((x,y,z) que satisfaça todas ao mesmo tempo.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação (Gaussiana) — vou transformar o sistema em um triangular superior por operações entre equações e depois fazer substituição regressiva. Explicando a ideia (curtinha e prática): podemos realizar três tipos de operações em uma equação sem alterar o conjunto de soluções:
  1. multiplicar uma equação por escalar não nulo;
  2. somar a uma equação um múltiplo de outra;
  3. trocar a ordem das equações.
Essas operações preservam as soluções porque correspondem a manipulações lógicas válidas nas igualdades. Em prova, é comum escolher combinações que evitem frações no meio das contas; vou usar isso quando possível.

Passo 3

Escrevo o sistema na forma de “matriz aumentada” (só para visualizar; vou operar sobre as equações):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & -3 & 15\\[4pt] 3 & -12 & 5 & -7\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 7 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeira etapa: eliminar a incógnita x\) em duas equações usando a terceira equação (escolhi a terceira porque ao subtrair múltiplos dela da primeira dá números inteiros pequenos). Faço a operação \(\text{(nova R1)}=\text{R1}-2\cdot\text{R3}\). Calculando termo a termo: \[\text{R1}-2\cdot\text{R3}: \quad \begin{cases} 4-2\cdot 2=0,\\[4pt] -1-2\cdot 3=-7,\\[4pt] -3-2\cdot 4=-11,\\[4pt] 15-2\cdot 7=1. \end{cases}
Portanto a nova R1 é ([0,,-7,,-11,|,1]].
Agora quero eliminar x\) em R2 sem criar frações grandes: faço \(\text{(nova R2)}=2\cdot\text{R2}-3\cdot\text{R3}\). Calculando: \[2\cdot\text{R2}-3\cdot\text{R3}: \quad \begin{cases} 2\cdot 3 -3\cdot 2 =0,\\[4pt] 2\cdot(-12)-3\cdot 3 = -24-9=-33,\\[4pt] 2\cdot 5 -3\cdot 4 =10-12=-2,\\[4pt] 2\cdot(-7)-3\cdot 7 = -14-21=-35. \end{cases}
Então a nova R2 é ([0,,-33,,-2,|, -35]].
Mantemos R3 como estava [2,\,3,\,4\,|\,7]. Assim a matriz fica (reordenarei em seguida para clareza):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 4 & 7\\[4pt] 0 & -7 & -11 & 1\\[4pt] 0 & -33 & -2 & -35 \end{array}\right],
onde, para facilitar, coloquei a equação com coeficiente de x igual a 2 como primeira linha (é apenas trocar a ordem das linhas, operação permitida).]

Passo 5

Agora temos um sistema triangular em x na primeira coluna (zeros nas colunas correspondentes em R2 e R3). O próximo objetivo é eliminar y da terceira linha usando a segunda linha como pivô (segunda linha tem coeficiente de y igual a -7, relativamente pequeno).
Para eliminar y em R3 via inteiros, faço 7\cdot\text{R3} - 33\cdot\text{R2}. Calculo termo a termo:
7\cdot\text{R3} = [0,\,-231,\,-14\,|\, -245], \qquad 33\cdot\text{R2} = [0,\,-231,\,-363\,|\,33].
Subtraindo:
7\cdot\text{R3} - 33\cdot\text{R2} = [0,\,0,\,(-14)-(-363)\,|\,(-245)-33] = [0,\,0,\,349\,|\,-278].
Portanto a terceira linha reduzida é [0,\,0,\,349\,|\,-278]. Agora a matriz está triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 4 & 7\\[4pt] 0 & -7 & -11 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 349 & -278 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution). Da terceira linha temos uma equação com única incógnita z:
349\,z = -278.
Logo
z = -\dfrac{278}{349}.
(Aqui já deixe a fração reduzida — 278=2\cdot139 e 349 é primo, não simplificam entre si.)

Passo 7

Usando a segunda linha, que corresponde à equação -7y -11z = 1, substituo z:
-7y -11\left(-\dfrac{278}{349}\right)=1.
Calculo passo a passo: -11\cdot(-278/349)=\dfrac{3058}{349}. Então
-7y + \dfrac{3058}{349} = 1.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 349:
-7y = 1 - \dfrac{3058}{349} = \dfrac{349 - 3058}{349} = -\dfrac{2709}{349}.
Multiplicando por -1:
7y = \dfrac{2709}{349}.
Portanto
y = \dfrac{2709}{7\cdot 349} = \dfrac{2709}{2443}.
Observando que 2709 é divisível por 7 ( 2709=7\cdot387), simplifico:
y = \dfrac{387}{349}.

Passo 8

Finalmente uso a primeira linha 2x + 3y + 4z = 7 para achar x. Substituo y e z:
2x + 3\left(\dfrac{387}{349}\right) + 4\left(-\dfrac{278}{349}\right) = 7.
Calculo os termos com denominador comum 349:
3\cdot 387 = 1161,\qquad 4\cdot(-278) = -1112,\qquad 7 = \dfrac{2443}{349}.
Assim
2x = \dfrac{2443}{349} - \dfrac{1161}{349} + \dfrac{1112}{349} = \dfrac{2443 -1161 +1112}{349} = \dfrac{2394}{349}.
Portanto
x = \dfrac{2394}{2\cdot 349} = \dfrac{1197}{349}.
Não há simplificação adicional (gcd é 1).

Passo 9

Pequena verificação (uma checada rápida para ganhar confiança): uso a primeira equação original 4x - y -3z.
Com os valores encontrados, todos com denominador 349,
4x - y -3z = \dfrac{4\cdot 1197 - 387 -3(-278)}{349} = \dfrac{4788 -387 +834}{349} = \dfrac{5235}{349} = 15,
pois 5235=349\cdot 15. Portanto satisfaz a primeira equação; é um bom sinal de que os cálculos estão corretos.

Resposta

x=\dfrac{1197}{349}\
y=\dfrac{387}{349}\
z=-\dfrac{278}{349}

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