Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{\begin{array}{l}a+2 b-c=1 \\2 a-b+c=3 \\-a+2 b+3 c=7\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de três equações lineares com três incógnitas a, b e c e pede que as encontremos. As equações fornecidas são:
\begin{cases} a + 2b - c = 1,\\[4pt] 2a - b + c = 3,\\[4pt] -a + 2b + 3c = 7. \end{cases}
Informações relevantes: temos três equações independentes e três incógnitas; portanto esperamos encontrar uma solução única (ou, dependendo das equações, nenhuma ou infinitas soluções — vamos verificar).]
Passo 2
Vou usar eliminação (método de Gauss) porque é um procedimento sistemático e direto para resolver sistemas lineares: a ideia é combinar as equações por adição/subtração (ou multiplicação por constantes) para eliminar incógnitas e reduzir o sistema a equações mais simples. Regras importantes que uso aqui (mini-aula rápida):
Quando somamos ou subtraímos múltiplos de uma equação a outra, a solução do sistema não muda — isso chama-se operação elementar em equações.
Nosso objetivo é eliminar uma incógnita de duas das equações para obter um sistema 2×2, facilitar a resolução e depois voltar (retro-substituição) para achar a terceira incógnita.
Passo 3
Eliminação de a nas equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplico a primeira equação por 2 e subtraio da segunda para eliminar a:
2\cdot\text{(eq.1)}:\; 2a + 4b - 2c = 2.
Agora subtraio essa igualdade da equação 2:
(2a - b + c) - (2a + 4b - 2c) = 3 - 2.
Fazendo as contas termo a termo:
-5b + 3c = 1.
Denotamos isso como nova equação (4):
\text{(4)}\quad -5b + 3c = 1.
Passo 4
Agora elimino a combinando a equação 1 com a equação 3. Somando a equação 1 à equação 3 elimina-se a:
\text{(eq.1)} + \text{(eq.3)}:\; (a + 2b - c) + (-a + 2b + 3c) = 1 + 7.
Fazendo as somas:
4b + 2c = 8.
Divido ambos os lados por 2 para simplificar (operações válidas):
2b + c = 4.
Denotamos isso como nova equação (5):
\text{(5)}\quad 2b + c = 4.
Passo 5
Agora temos um sistema 2×2 em b\) e \(c\):
\[\begin{cases} -5b + 3c = 1,\\[4pt] 2b + c = 4. \end{cases}
Vou resolver por substituição. Da equação (5) isolamos c\]:
\[c = 4 - 2b.\]
Explico: isolar significa deixar \(c em função de b, o que facilita substituir na outra equação.]
Passo 6
Substituo c = 4 - 2b na equação (4):
-5b + 3(4 - 2b) = 1.
Calculo o parêntese:
-5b + 12 - 6b = 1.
Reuno termos semelhantes:
-11b + 12 = 1.
Subtraio 12 dos dois lados:
-11b = -11.
Divido por -11:
b = 1.
Agora volto para achar c usando c = 4 - 2b:
c = 4 - 2\cdot 1 = 2.
Passo 7
Com b=1 e c=2, faço retro-substituição em qualquer equação original para obter a. Uso a equação 1:
a + 2b - c = 1.
Substituindo:
a + 2\cdot 1 - 2 = 1.
Isso dá:
a + 0 = 1,
logo
a = 1.
Passo 8
(Faço uma checagem rápida substituindo \,a=1,\\ b=1,\\ c=2 nas três equações originais para confirmar.)