Resolva os sistemas de equações linerares a seguir:
\left{ \begin{array}{l}a+2 b-c=1 \\2 a-b+c=3 \\-a+2 b+3 c=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações lineares com três incógnitas a, b e c e pede que as encontremos. As equações fornecidas são:
\begin{cases} a + 2b - c = 1,\\[4pt] 2a - b + c = 3,\\[4pt] -a + 2b + 3c = 7. \end{cases}
Informações relevantes: temos três equações independentes e três incógnitas; portanto esperamos encontrar uma solução única (ou, dependendo das equações, nenhuma ou infinitas soluções — vamos verificar).]

Passo 2

Vou usar eliminação (método de Gauss) porque é um procedimento sistemático e direto para resolver sistemas lineares: a ideia é combinar as equações por adição/subtração (ou multiplicação por constantes) para eliminar incógnitas e reduzir o sistema a equações mais simples. Regras importantes que uso aqui (mini-aula rápida):
  • Quando somamos ou subtraímos múltiplos de uma equação a outra, a solução do sistema não muda — isso chama-se operação elementar em equações.
  • Nosso objetivo é eliminar uma incógnita de duas das equações para obter um sistema 2×2, facilitar a resolução e depois voltar (retro-substituição) para achar a terceira incógnita.

Passo 3

Eliminação de a nas equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplico a primeira equação por 2 e subtraio da segunda para eliminar a:
2\cdot\text{(eq.1)}:\; 2a + 4b - 2c = 2.
Agora subtraio essa igualdade da equação 2:
(2a - b + c) - (2a + 4b - 2c) = 3 - 2.
Fazendo as contas termo a termo:
-5b + 3c = 1.
Denotamos isso como nova equação (4):
\text{(4)}\quad -5b + 3c = 1.

Passo 4

Agora elimino a combinando a equação 1 com a equação 3. Somando a equação 1 à equação 3 elimina-se a:
\text{(eq.1)} + \text{(eq.3)}:\; (a + 2b - c) + (-a + 2b + 3c) = 1 + 7.
Fazendo as somas:
4b + 2c = 8.
Divido ambos os lados por 2 para simplificar (operações válidas):
2b + c = 4.
Denotamos isso como nova equação (5):
\text{(5)}\quad 2b + c = 4.

Passo 5

Agora temos um sistema 2×2 em b\) e \(c\): \[\begin{cases} -5b + 3c = 1,\\[4pt] 2b + c = 4. \end{cases}
Vou resolver por substituição. Da equação (5) isolamos c\]: \[c = 4 - 2b.\] Explico: isolar significa deixar \(c em função de b, o que facilita substituir na outra equação.]

Passo 6

Substituo c = 4 - 2b na equação (4):
-5b + 3(4 - 2b) = 1.
Calculo o parêntese:
-5b + 12 - 6b = 1.
Reuno termos semelhantes:
-11b + 12 = 1.
Subtraio 12 dos dois lados:
-11b = -11.
Divido por -11:
b = 1.
Agora volto para achar c usando c = 4 - 2b:
c = 4 - 2\cdot 1 = 2.

Passo 7

Com b=1 e c=2, faço retro-substituição em qualquer equação original para obter a. Uso a equação 1:
a + 2b - c = 1.
Substituindo:
a + 2\cdot 1 - 2 = 1.
Isso dá:
a + 0 = 1,
logo
a = 1.

Passo 8

(Faço uma checagem rápida substituindo \,a=1,\\ b=1,\\ c=2 nas três equações originais para confirmar.)
  • Na primeira: 1 + 2\cdot 1 - 2 = 1
  • Na segunda: 2\cdot 1 - 1 + 2 = 3
  • Na terceira: -1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 2 = -1 + 2 + 6 = 7
Tudo confere.

Resposta

a=1,\\ b=1,\\ c=2

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